5. Операции с классами (объемами понятий). Диаграммы Венна

Оперирование с понятиями предполагает также умение образовывать сложные понятия из более простых, или иначе говоря, представлять объемы понятий по сложно заданной совокупности признаков. Например, чтобы представить объем понятия “детективный или фантастический роман, кроме американского” необходимо объединить множество детективных и множество фантастических романов и исключить из полученного множества все американские романы. Для этих целей нужно знать смысл основных операций с классами или множествами: объединение, пересечение, вычитание множеств и образование дополнения к множеству.

Операция объединения двух множеств А и В (А и В) состоит в образовании класса, включающего все элементы А и все элементы В. Например, объединение класса

27

целых яблок с классом половинок яблок даст класс, куда войдут все целые яблоки и все половинки яблок, а объединение класса волков с классом хищников даст класс хищников, поскольку все волки уже в него включены. Операция объединения в содержаниях понятий отражается обычно дизъюнктивным соединением признаков.

Графически объединение классов отражается следующими схемами (в зависимости от фактического отношения объединяемых множеств). Результат операции на всех схемах показан штриховкой:

1. Аи В 2.АиВ З.АиВ 4.АиВ

Операция пересечения двух множеств А и В (А Г) В) состоит в создании класса, включающего все те и только те элементы, которые входят в Аи В одновременно. Например, пересечение класса российских городов с классом городов-миллионеров даст класс российских городов-мил- лионеров, пересечение класса волков с классом хищников даст класс волков, а пересечение классов яблок и половинок яблок будет пустым классом, так как не существует такого предмета, который был бы одновременно яблоком и его половинкой. Операция пересечения в содержаниях понятий отражается конъюнктивным соединением признаков.

Графически пересечение классов изображается следующими схемами (в зависимости от фактического отношения пересекаемых множеств):

Ч.АпВ 2.АоВ З.АпВ 4.АпВ

Операция вычитания класса В из класса А (А\В) дает класс, состоящий из всех тех и только тех элементов

А, которые не являются элементами В. Например, при вычитании класса российских городов из класса городов- миллионеров получится класс не-российских городов-

28

миллионеров, а при вычитании класса город ов-миллионе- ров из класса российских городов получится класс российских городов, население которых менее 1 млн. человек. Вычитание класса волков из класса хищников даст класс хищников-не-волков, а обратное вычитание (хищников из волков) приведет к пустому множеству, потому что, если мы истребим среди волков всех хищников, волков не останется вовсе. Операция вычитания классов в содержаниях понятий отражается обычно соединением признаков посредством слов “кроме”, “за исключением”, “но не”, что соответствует конъюнктивному присоединению признака, противоречащего данному.

Графически вычитание классов изображается следующими схемами (в зависимости от фактического отношения классов):

1. А\В

2. А\В 3. А\В 4. В\А

5. А\В

Дополнением множества А (А') является множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые не входят в А, иначе говоря, дополнение к А получается, когда из универсального класса (U) вычитают класс А (U\A). Например, дополнением к множеству квадратов (в универсуме геометрических фигур) является множество всех геометрических фигур, кроме квадратов, т.е. множество не-квадратов, дополнением к множеству детей будет множество не-детей и т.д. Множество и дополнение к нему выражаются противоречащими понятиями.

Графически дополнение к классу изображается схемой:

Находят обычно сложные классы, или объемы понятий со сложно заданными содержаниями, на графических схемах, называемых диаграммами Венна. Диаграмма

29

Венна представляет собой прямоугольник, символизирующий универсальный класс. Этот универсум разбивается горизонтальными и вертикальными линиями на класс и дополнение к нему по каждому классу, над которыми производятся операции. Например, для нахождения класса ((АиВ) пС') универсум разбивается сначала на А и А' (схема 1), потом — на В и В'(схема 2), при предположении, что классы АиВ независимы друг от друга, т.е., что существуют элементы, общие для А и В (1), существуют элементы

В, которые не входят в А (2), также существуют и такие, которые не входят в В, но входят в А (3), и существуют элементы, не входящие ни в А, ни в В (4). И наконец, универсум разбивается на класс С и С', также при предположении независимости С от А и В (схема 3).

Собственно нахождение сложного класса начинается на полностью расчерченной диаграмме (схема 3). В нашем примере ((А и В) л С') нужно осуществить две операции: (1) объединение А и В, (2) пересечение полученного результата с С'. Результат первой операции представлен на схеме 4,

Для нахождения объемов понятий со сложно заданным содержанием необходимо сначала сопоставить каждому признаку выделяемый им класс предметов, заменить конъюнкцию признаков на пересечение соответствующих классов, дизъюнкцию признаков — на объединение классов, а отрицательные признаки представить как дополнение к соответствующему классу. Например, объем поня30

тия “водное животное, не являющееся китом и дельфином” будет сложным классом (Ап(В'пС')), где А — класс водных животных, В — класс китов, С — класс дельфинов. Объем понятия “детективный или фантастический роман, кроме американского” есть сложный класс ((А и В) п С'), где А — детективные романы, В — фантастические романы, С — американские романы.

Для установления отношений между такими понятиями, объемы которых нужно находить на диаграммах Вен- на, чертят две полностью идентичные диаграммы, разбивая по всем тем простым классам, которые встречаются в обоих понятиях. Например, нужно установить отношение между понятиями: “детективный или фантастический роман” и “американский детективный роман”. Это значит — установить отношение между сложными классами: (А и В) и (С п А), в каждый из которых входят по два класса, но всего их три: А, В, С. Поэтому обе диаграммы должны быть расчерчены по А, В и С.

Затем найдем объем каждого понятия на его диаграмме и посмотрим, в каком отношении они находятся.

С С' С С' С С' С С'

На диаграммах мы видим, что объем второго понятия составляет часть объема первого, значит, второе понятие находится в отношении подчинения к первому.

Отношения группы совместимости на диаграммах Вен- на определяют так же, как на кругах Эйлера. На диаграммах видны и отношения группы несовместимости, кото31

рые на кругах неразличимы. Проще всего увидеть на диаграммах отношение противоречия, при котором объемы понятий вместе исчерпывают весь универсум. Труднее различать на диаграммах соподчинение и противоположность. Следует запомнить, что объемы соподчиненных понятий занимают на диаграммах просто разные места (не исчерпывая вместе весь универсум), тогда как объемы противоположных понятий занимают диагонально расположенные клеточки на диаграммах: понятие, у которого весь объем заключен в 1 клетке 8-миклеточной диаграммы противоположно понятию, весь объем которого заключен в 8, 2 противоположно 7, 3 противоположно

6, 4 противоположно 5, понятие, объем которого весь заключается в 1 и 2 (занимает 2 клеточки) противоположно понятию с объемом 7 и 8, а 3 и 4 противоположно 5 и 6.

Упражнения

1. Произведите объединение, пересечение, вычитание объемов следующих понятий:

а) ромб, равносторонний параллелограмм;

б) студент, первокурсник;

в) город, населенный пункт Московской области;

г) крокодил, бегемот;

д) учебник, книга по физике;

е) собака, голова собаки;

ж) отец; человек, имеющий детей;

з) существительное женского рода, оканчивающееся на “ь”; существительное 3-го склонения;

и) правительство, премьер-министр;

к) сосновая ветка, ветка хвойного дерева; л) число, кратное 5; число, оканчивающееся на 5.

Образец. Грабитель, рецидивист. В результате объединения получится понятие “грабитель или рецидивист”, в объем которого войдут все грабители и все рецидивисты. В результате пересечения получится понятие “грабитель- рецидивист”. В результате вычитания второго понятия из первого получтся понятие “грабитель-не-рецидивист”, а при вычитании первого из второго — понятие “рециди- вист-не-грабитель”. Дополнением к первому будет понятие “не-грабитель”, а ко второму — “не-рецидивист”.

2. В каких отношениях находятся понятия АиВ, если:

а) А п В = А и В;

б) А\В = А, А и В = U;

в) А\В * О, В\А Ф О, А\В Ф В\А

32

г) А п В = А, А и В = В;

д) А\В = О, В\А*0;

е) А\В = В\А = 0;

ж) В\А = В, А и В U.

Образец: AnB = 0, AuB^U. Понятия А и В находятся в отношении соподчинения или противоположности: они несовместимы, как видно из А п В = 0, и в то же время не исчерпывают весь универсум.

3. Пусть универсум (U) — множество чисел, А —■ множество четных чисел, В — множество чисел, делящихся на 5, С — множество чисел, делящихся на 3, а их отношения представлены на следующей схеме — диаграмме Эйлера — Венна:

Составьте понятия, соответствующие каждой из 8 областей, и для проверки их непустоты назовите по одному элементу из каждой.

Образец. Область 6 (ВпСпА') составляют нечетные числа, делящиеся на 5 и на 3, например, 15, 45 75.

4. Укажите на той же диаграмме области, соответствующие сложным классам: а)АиВиС; б)АпВпС; в)(АиВиС)'; г)(АпВпС)';

д) (АпВ) \ С; е)А\(ВиС); ж) (АиВ) пС; з) (AnB) иС;

и) (AuBuC) \ (АпВпС); к) (АпВ) и(ВпС) и(АпС).

Образец: (АпВ) \ (СпВ). (АпВ) — это области 4+7. (СпВ) — это области 6+7. При вычитании второго из первого получается область 4.

, 5. Укажите на той же диаграмме области:

а) чисел, делящихся на 15;

б) чисел, делящихся на 6;

в) чисел, делящихся на 30;

г) чисел, делящихся на 10;

д) чисел, не делящихся на 15

е) чисел, не делящихся на 6;

ж) чисел, не делящихся на 30;

Образец. Укажите область чисел, не делящихся на 10. Поскольку на 10 не делятся те числа, которые не являют-

2 Зак. 285

33

ся четными или не делятся на 5, искомая область состоит из полей 1+2+3+5+6+8.

6. Найдите на диаграммах Венна сложные классы:

a) (A'nB)' n(C'uB'); б) (А п С')и(ВиА');

в) (АиС) и(АпВ); г) (Аи С)'п(АиВ)';

д) (АиВ')'п(ВпС)'; е) ((В о С)' п(А'иС))'.

Образец. (АиВ) п (В

в

В '

С С' С С'

В результате первой операции получаются клетки 1—6; в результате второй — 2, 4; в результате третьей — 2,4.

7. Запишите символически сложные классы, соответствующие заштрихованным областям на следующих диаграммах Эйлера — Венна:

Образец. Диаграмма 9: (Au(BnC)V(AnBn С).

8. Установите с помощью диаграмм Венна отношения между классами:

а) ((А п В') и А) и ((В n А') и В');

б) ((Ап В) и А') и ((А и А') п (В и В'));

в) ((А п В) и (А' п В')) и ((А иА') п(Ви В'));

г) ((А и С) и (А п В)) и (Аи В');

д) ((А п С') и С) и ((А и В) п С');

е) ((А п С')' п В) и ((А и С) п В)'.

Образец. (А'и В') и ((А п С')' п В).

Первый класс найден на левой диаграмме, он занимает клетки 3—8, второй класс найден на правой диаграмме, он занимает клетки 1, 3, 4. Поскольку у этих классов есть общие части (клетки 3 и 4) и есть различные, отношение между данными классами — перекрещивание.

9. Установите с помощью диаграмм Венна отношения между следующими понятиями:

а) студент, сдавший экзамены по истории и психологии, но не сдавший зачет по информатике; студент, не сдавший экзамен по истории или по психологии, но сдавший зачет по информатике;

б) человек, знающий хотя бы один из 3 языков (англ., фр., итал.); человек, знающий французский и итальянский, но не знающий английского языка;

в) произведение детективного жанра, не являющееся ни высокохудожественным, ни увлекательным; увлекательное, хотя и не высокохудожественное произведение;

г) уважаемый или не уважаемый, но популярный политик; серьезный и уважаемый политик.

д) писатель, о котором нельзя сказать, что он талантлив или глубок, хотя и не лишенный своеобразия; писатель, о котором нельзя сказать, что он глубок и талантлив, однако своеобразен;

Образец. Четное число, не делящееся на 6, меньшее 100; число, делящееся на 6, или четное число, меньшее 100. Запишем содержания этих понятий символически,

35

обозначив признак “четное число” — А, признак “делящееся на б” — В, признак “меньшее 100” — С: (А & 1В & С) и (Bv (А & С)). Этим содержаниям соответствуют классы: (АпВ'пС) и (В и(А п С)), между которыми и нужно установить отношение с помощью диаграмм Венна.

6. Определение, его виды

Определение — это операция раскрытия содержания понятия или придания смысла некоторому термину. Определением также называют высказывание, в котором зафиксирован результат этой операции.

Определение дается во всех случаях, когда отвечают на вопрос “что это такое?” или “что имеется в виду под выражением...?” Без него не обходится ни один урок в школе, ни одна лекция, вообще никакое информационно-языковое общение. Определения даются, когда нужно сообщить, какими отличительными признаками обладают те или иные предметы, и когда требуется задать или уточнить смысл некоторого термина. Легко заметить, что задачи этих двух типов определений различны: в первом — целью является раскрытие сущности или отличительных особенностей класса предметов, о которых идет речь, во втором — разъяснение словоупотребления. Определения первого типа называются реальными, второго — номинальными.

Все определения, независимо от их цели, выражены в высказываниях той или иной формы (обычно — в одном высказывании, иногда — в группе высказываний). В зависимости от формы этих высказываний определения разделяют на явные и неявные. Наиболее широко употребимы- ми являются явные определения, где определяемое вынесено влево и не встречается в правой (определяющей) части. Например, определение “Амперметр — это физический прибор для измерения силы тока”, явное, т.к. определяемое понятие “амперметр” стоит слева и больше в определении не встречается.

Определения, не имеющие такой формы, называются неявными. Наиболее простым видом неявных определений являются контекстуальные, когда смысл неизвестного выражения раскрываются на протяжении какого-то контекста и тем самым выясняется содержание обозначен36

ного этим выражением понятия. Весь тот контекст, из которого становится ясным смысл неизвестного выражения, является определением. Другие виды неявных определений употребляются лишь в специальных науках и довольно сложны для беглого ознакомления.

Наиболее часто встречающийся вид определений — это явные родо-видовые определения, или определения через род и видовое отличие. Это такие определения, где определяющая часть начинается с указания родового признака определяемых предметов, т.е. признака, присущего более широкому, чем определяемый, классу. В приведенном определении амперметра таким родовым признаком является “физический прибор”, присущий не только амперметрам. Родовой признак — первый ориентир, указывающий, в какой области следует искать определяемые предметы. После него дается видовое отличие этих предметов, т.е. спецификация их в пределах области, указанной родовым признаком. Так, среди всех физических приборов выделяются те, которые измеряют силу тока.

Среди родо-видовых определений можно выделить, по крайней мере, три подвида в зависимости от способа, каким происходит спецификация, т.е. от типа видового отличия.

Во-первых, интересующие нас предметы можно специфицировать, указав дополнительно к родовому признаку отличительные признаки этих предметов. Например, “квадрат — это ромб с прямыми углами”. “Ромб” — родовой признак, “прямоугольный” :— видовое отличие, т.е. признак, присущий из всех ромбов только квадратам. Такого типа родо-видовые определения называются атрибутивными.

Во-вторых, класс определяемых предметов можно специфицировать, указав в видовом отличии, как эти предметы происходят естественным образом или как их можно получить (создать, построить). Например, “квадрат — это ромб, получаемый взаимно перпендикулярной установкой его смежных сторон”. Здесь тот же самый родовой признак (“ромб”), а видовое отличие указывает процедуру построения квадрата из ромба. Такие определения называются генетическими.

В-третьих, предметы могут быть специфицированы указанием в видовом признаке операции, позволяющей

37

их отличить. Эта операция рассчитана либо на специфическую реакцию определяемых предметов, либо на легко обнаруживаемый результат. Например, “Квадрат — это такой ромб, что если к любой из его сторон приложить основание транспортира, совместив точку “0” с вершиной, то примыкающая к ней сторона соединит точку “0” и отметку на шкале “90°”. В этом определении видовое отличие описывает процедуру различения квадратов среди всех ромбов. Такие определения называются операциональными.

У п ражнения

1. Найдите в следующих определениях определяемое и определяющее и скажите, является ли определение явным:

а) Определение — это операция раскрытия содержания понятия или придания смысла некоторому термину.

б) Определения, в которых определяющая часть начинается с указания родового признака определяемых предметов, т.е. признака, присущего более широкому, чем определяемый, классу, называются родо-видовыми;

в) Если каждый элемент объема одного понятия является элементом объема другого понятия и наоборот, понятия называются эквивалентными;

г) ах1=а, а х (п+1) = (ах п) + а;

д) Родители, дети, родные братья и сестры, супруги считаются ближайшими родственниками;

е) Шар представляет собой тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра.

Образец. 1) 2 — четное число,

2) если п — четное число, то п+2 — четное число,

3) никакое другое число четным не является. Определяется понятие “четное число”, определение неявное, так как состоит из трех утверждений, где определяемое понятие не вынесено влево, а встречается несколько раз.

2. Установите, являются ли следующие явные определения родо-видовыми (в родо-видовых укажите родовой признак и видовое отличие):

а) Членовредительство — нанесение увечья кому-нибудь или умышленное нанесение увечья себе;

б) Умный человек — это тот, который молчит, когда его не спрашивают;

в) Свобода — отсутствие стеснений и ограничений, связы38

вающих общественно-политическую жизнь и деятельность какого-либо общественного класса;

г) Коллегия — группа должностных лиц, образующих административный, совещательный или распорядительный орган;

д) Мякина — остатки колосьев, стеблей и другие отходы при молотьбе;

е) Шантаж — угроза разглашения компрометирующих сведений с целью вымогательства;

ж) Резидент — тайный представитель разведки в каком- нибудь районе иностранного государства;

з) Оптимизм — бодрое и жизнерадостное мироощущение, при котором человек во всем видит светлые стороны;

и) Числитель — делимое в дроби;

Образец. Истязание — систематическое нанесение побоев. Определение можно считать родо-видовым: родовой признак “нанесение побоев”, видовое отличие “систематическое”.