2.2. Основные задачи кинематического анализа рычажных механизмов
Кинематический анализ рычажного механизма состоит из решений двух задач. Первая задача: по заданному положению ведущего звена механизма необходимо вычислить параметры, определяющие положение остальных его звеньев. Вторая задача: для заданного положения механизма необходимо вычислить скорости и ускорения его звеньев и указанных точек.
Первая
задача.
Всякий механизм можно представить в
виде замкнутого контура. Стороны такого
контура могут рассматриваться как
векторы, направления которых определяются
соответствующими ортами.
Тогда
вектор, определяющий положение стороны
контура, представляется в виде произведения
,
где
– модуль вектора стороны;
– орт,
указывающий направление стороны контура.
Для замкнутого контура геометрическая сумма векторов-сторон равна нулю. Это условие выражается в виде уравнения замкнутости.
На
рис. 2.1 изображен кривошипно-ползунный
механизм, который представляется в виде
векторного контура. Положение сторон
этого контура в прямоугольной системе
координат
определяется следующими векторами
,
где
– размеры звеньев;
– длина нормали направляющей, вдоль
которой движется ползун В;
– орты векторов-сторон контура.
Проекции
ортов на оси прямоугольной системы
координат равны соответственно значениям
косинуса и синуса угла, образованного
ортом с горизонтальной осью
.
Сторона
образует с осью
угол
,
сторона – угол , сторона 
– угол , а сторона
– угол
.
Тогда орты будут иметь следующие
координаты:
Составим
уравнения замкнутости векторного
контура
.
(2.1)
Представим уравнение замкнутости (2.1) в координатной форме, для этого спроецируем все векторы-стороны на оси прямоугольной системы координат:
(2.2)
Из
системы уравнений (2.2) можно определить
неизвестные величины
и
.
Остановимся
на методе минимизации специально
составленной функции. Разомкнем цепь
в шарнире В
(рис. 2.3) и выразим координаты точек В
и
через параметры цепи:
Откуда
Рис. 2.3. Метод оптимизации специальной функции
Квадрат
расстояния между точками В
и
выразится функцией
,
которая после преобразования получит
вид:
где
– угол, определяющий положение кривошипа
в заданный момент времени;
– неизвестные параметры, определяющие
положения шатуна АВ
и
ползуна В.
Эти параметры следует подобрать так,
чтобы выполнялся минимум функции ,
равный нулю.
Минимизация
функции
выполняется методом Ньютона [3]. Метод
основан на замене функции тремя первыми
членами ряда Тейлора и последующей
минимизации полученной квадратичной
формы. Пусть
– значения неизвестных после k-й
итерации. Разложим F
в
ряд по степеням разностей
и отбросим члены порядка выше второго.
Получим
(2.3)
Функция
(2.3) имеет минимум, когда
.
Определив
эти производные, получим систему линейных
уравнений относительно
и
:
.
Матричная
форма этой системы
,
где
.
Коэффициенты матриц А и В для рассматриваемой схемы механизма имеют следующие выражения:
,
,
,
,
,
.
Вычисление поправок и продолжается до тех пор, пока значение функции F не станет меньше заданной величины. На этом заканчивается решение первой задачи кинематического исследования механизма.
Средства
Mathcad
позволяют значительно упростить решение
выше названной задачи. Параметры
и
могут быть вычислены при минимизации
целевой функции
с помощью операции Minimize, либо с помощью
блока операций Given-Find решена непосредственно
система уравнений (2.2) с дополнительным
условием. Эта система имеет вид
– дополнительное
условие.
Ниже будут рассмотрены методы решения первой задачи кинематического анализа механизма средствами MathCAD.
Вторая задача. Определение скоростей и ускорений звеньев механизма.
После
определения положения звеньев механизма
для заданного момента времени переходят
к вычислению их скоростей и ускорений.
Для этого уравнения (2.2) дифференцируют
дважды по времени. Получим две системы
линейных уравнений относительно
неизвестных
и
.
После первого дифференцирования получим систему линейных уравнений относительно . Матрицы А, В и X этой системы имеют вид:
В результате второго дифференцирования получим систему линейных уравнений относительно . Матрицы А, В и X системы имеют вид:
где
.
Методы решения этих систем уравнений будут рассмотрены ниже.