Результаты решения

	–		–

4. Кинематический анализ четырехзвенных кулисных механизмов

4.1. Основные задачи кинематического анализа

Ш ирокое применение в технике нашли одноконтурные четырехзвенные кулисные механизмы. Они представляют значительный интерес не только с учебной точки зрения, но и с точки зрения использования их при решении различных инженерных задач. В настоящем учебном пособии рассмотрено несколько схем таких механизмов, полный набор их представлен в [4].

Рассмотрим движение кулисного механизма (рис. 4.1). Задан закон дви­же­ния кривошипа ОС, геометрические размеры звеньев механизма . Необходимо для заданного момента времени определить параметры и . Угол определяет положение звена АВ, координата S – положение ползуна С относительно кулисы АВ, а также – угловую скорость и угловое ускорение кулисы АВ; и – скорость и ускорение ползуна относительно кулисы АВ; и – абсолютные скорость и ускорение точки С.

Определение положения звеньев механизма.

Составим уравнение замкнутости векторного контура АОСА. Из треугольника АОСА имеем:

. (4.1)

Уравнение (4.1) в проекциях на оси координат

Из полученной системы уравнений можно определить неизвестные величины и . Для этого составим целевую функцию , которая имеет вид

,

где

После преобразований целевая функция принимает вид

В системе MathCAD неизвестные величины и определяются с помощью операции Minimize . Значение выдается в радианах.

Определение скоростей и ускорений звеньев механизма.

Для решения второй задачи исходную систему уравнений дважды дифференцируем по времени. Получаем две системы линейных уравнений с неизвестными .

Матричная форма системы линейных уравнений скоростей

,

где ; .

Отметим, что .

Система уравнений скоростей

Система уравнений ускорений

Матричная форма системы уравнений ускорений

,

где ; ;

Учтем, что .

Решение систем уравнений выражается в пакете Mathcad с помощью операции .

Ниже приводится пример решения этой задачи средствами Mathcad.

4.2. Кинематический анализ одноконтурного кулисного механизма графоаналитическим методом

После завершения анализа механизма численным методом (методом замкнутого векторного контура) рекомендуется определить скорости и ускорения звеньев механизма графоаналитическим методом. Этот метод основан на теории плоскопараллельного движения твердого тела и сложного движения точки (рис. 4.2).

Входные параметры .

Выходные параметры – скорость и ускорение ползуна относительно кулисы АВ; – угловая скорость и угловое ускорение кулисы АВ.

Выполним анализ сложного движения ползуна С (рис. 4.2):

– относительное движение – движение ползуна С по стержню АВ, – относительная скорость ползуна;

– переносное движение – вращение кулисы АВ вокруг оси А стойки; – переносная скорость ползуна;

– абсолютное движение – движение ползуна С относительно стойки по окружности радиуса ОС, – абсолютная скорость ползуна.

2

Рис. 4.2. Картина скоростей и ускорений звеньев механизма

Скорости , , – связаны векторным уравнением

.

Из этих трех скоростей может быть вычислен модуль вектора

.

Вектор направлен перпендикулярно ОС в сторону вращения стержня ОС.

Вектор направлен вдоль кулисы АВ.

Вектор направлен перпендикулярно кулисе АВ.

На рис. 4.2 построен параллелограмм скоростей. Из треугольника СЕА следует, что

.

Абсолютное ускорение точки С определяется векторным уравнением

. (4.2)

Рассмотрим абсолютное ускорение .

Траектория абсолютного движения – окружность радиуса ОС, поэтому представляется в следующем виде:

, (4.3)

где , .

Вектор направлен от точки С оси О; вектор направлен перпендикулярно ОС в сторону углового ускорения .

Переносным движением является вращение стержня АВ вокруг оси А, поэтому переносное ускорение представим составляющими

,

где , .

Вектор направлен от точки С к оси А, – искомая величина.

Вектор направим перпендикулярно АС по скорости в предположении, что дуговая стрелка углового ускорения направлена против хода часовой стрелки. Если в результате решения значение получим со знаком плюс, то предположение о направлении справедливо. Если получится отрицательным, то имеет противоположное направление.

Траектория относительного движения – прямая АВ. Искомое ускорение направим вдоль АВ от С к В, считая, что относительное движение – ускоренное. По знаку судят о действительном направлении вектора .

Ускорение Кориолиса определяется по формуле

.

Вектор , т. е. переносной угловой скоростью будет угловая скорость кулисы , модуль и направление вектора , а также вектора определены при решении задачи о скоростях.

Модуль ускорения Кориолиса определяется по формуле

.

Векторы и образуют прямой угол.

Для определения направления вектора , согласно правилу Н.Е. Жуковского, следует вектор повернуть на 90º в сторону переносного вращения. Картина скоростей и ускорений звеньев механизма изображена на рис. 4.2.

Уравнение (4.2) с учетом соотношения (4.3) можно представить в таком виде

. (4.4)

В этом уравнении неизвестными являются величины и . Для их определения проецируем уравнение (4.4) на оси координат (рис. 4.2)

Матричная форма полученной системы уравнений .

Решение системы уравнений осуществляется операцией .

Решение всех перечисленных задач кинематического анализа кулисного механизма выполняется в системе Mathcad.