2.3. Решение задачи кинематического анализа плоского рычажного механизма средствами MathCad

Определить положение звеньев нецентрального кривошипно-ползун­ного механизма для ряда положений его кривошипа (см. рис. 2.1). Механизм имеет следующие размеры звеньев: м, м, м, = 180°, начальное положение механизма задано углом .

При решении задачи предполагается, что угловая скорость ведущего звена незначительно отклоняется от постоянной величины. Она задана соотношением , угловое ускорение кривошипа , угол поворота кривошипа для любого момента времени определяется соотношением:

.

Требуется для каждого положения механизма, заданного углом , вычислить параметры и , определяющие положение шатуна АВ и ползуна В.

При выполнении задания необходимо изобразить механизм в двух положениях: произвольном положении механизма, заданном углом и начальном положении, заданном углом . На рис. 2.4 и 2.5 изображен механизм в этих двух положениях. Схема механизма строится в масштабе следующим образом:

– с неподвижным основанием механизма (стойкой) связывается прямоугольная система координат Oxy. Центр О системы координат совпадает с неподвижным шарниром О кривошипа ОА. Ось вращения Oz кривошипа направлена перпендикулярно плоскости, параллельно которой движутся звенья механизма (плоскость чертежа);

– изображается направляющая MN, по которой движется ползун В. Для этого от оси Ox откладывается угол , получается луч OP. На этом луче откладывается отрезок , перпендикулярно которому проводится линия MN;

– изображается произвольное положение кривошипа ОА, заданное углом . Траекторией точки А будет окружность, центр которой находится в точке О, и радиус равен длине кривошипа ;

– изображается возможное положение ползуна В на направляющей MN. Для этого из точки А радиусом, равным длине шатуна , делаются засечки на направляющей MN. Это точки В и . Из этого следует, что возможны две сборки механизма для одного положения кривошипа. На рис. 2.4 изображен один из возможных вариантов сборки механизма.

Подобным образом строится кинематическая схема механизма для заданного начального положения (рис. 2.5).

Рис. 2.4. Кинематический механизм	Рис. 2.5. Начальное положение кинематического механизма

Путем измерения на чертеже (рис. 2.4) определяются угол и расстояние S. Это будут их начальные значения: м.

Составим уравнения замкнутости контура (рис. 2.4) в проекциях на декартовые оси координат Oxy:

_. (2.4)

Образуем целевую функцию . Она имеет вид

_(2.5)

где – угол, определяющий положение кривошипа в заданный момент времени; и – неизвестные параметры, определяющие положения шатуна АВ и ползуна В. Они могут быть определены при решении системы уравнений (2.4) или минимизации функции (2.5).

Подготовим теперь исходную информацию для решения задачи.

Размеры звеньев механизма

см, см, см, .

Постоянные уравнения вращения кривошипа

; .

Начальные приближения искомых величин: см.

Интервал времени с.

Любому положению ведущего звена соответствует время , где i – номер положения кривошипа.

Определение скоростей звеньев механизма.

Дифференцируем уравнения замкнутости векторного контура (2.4) по времени

, (2.6)

где – угловая скорость кривошипа ОА; – угловая скорость шатуна АВ; – скорость ползуна В.

Систему уравнений (2.6) представим в матричной форме , где

.

Решение системы выполняется с помощью матричного уравнения

, где , .

Определение ускорений звеньев механизма.

Дифференцируем повторно уравнение замкнутости векторного контура

, (2.7)

где – угловое ускорение кривошипа ОА; – угловое ускорение шатуна АВ; – ускорение ползуна В.

Матричная форма системы линейных уравнений (2.7) .

Матрицы C, D, Z системы уравнений имеют следующий вид

,

где .

Решение системы уравнений (2.7) выполняется с помощью матричного уравнения .