Примеры решения задач

Пример 47. Написать первые три члена ряда и исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение. Выпишем первые три члена ряда, полагая поочередно , и (суммирование членов ряда начинается с 0). Находим

; ; .

Для исследования ряда на сходимость воспользуемся признаком Даламбера для знакоположительных рядов.

В нашем случае

Найдем

.

Так как , то делаем вывод, что ряд сходится.

В следующем примере нами будет использован символ «!», называемый факториалом. Факториал есть функция, значение которой находится для любого натурального числа следующим образом:

,

т.е. факториал числа есть произведение первых натуральных чисел. Таким образом,

и т.д. По определению полагают, что .

Пример 48. Написать первые три члена ряда и исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение. Выпишем первые три члена ряда, полагая поочередно , и (суммирование членов ряда начинается с 1). Находим

; ; .

Воспользуемся признаком Даламбера для знакоположительных рядов.

В нашем случае

Найдем

Т.к. , то делаем вывод, что ряд расходится.

Пример 49. Написать первые три члена ряда и исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сравнения.

Решение. Выпишем первые три члена ряда, полагая поочередно , и (суммирование членов ряда начинается с 1). Находим

; ; .

_{Для исследования ряда на сходимость применим предельный признак сравнения. Имеем ряд}

. (20)

_{Сравнивать ряд (20) будем с рядом}

. (21)

Имеем

, ,

.

Т.к. предел отличен от и , то по предельному признаку сравнения ряды (20) и (21) ведут себя одинаково. Т.к. ряд (21) есть обобщенный гармонический ряд при , то он сходится. Значит, и данный ряд тоже сходится.

Пример 50. Написать первые три члена ряда и исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сравнения.

Решение. Выпишем первые три члена ряда, полагая поочередно , и (суммирование членов ряда начинается с 1). Находим

; ; .

_{Для исследования ряда на сходимость применим предельный признак сравнения. Имеем ряд}

. (22)

_{Сравнивать ряд (22) будем с рядом}

. (23)

Имеем

, ,

.

Т.к. предел отличен от и , то по предельному признаку сравнения ряды (22) и (23) ведут себя одинаково. Т.к. ряд (23) есть гармонический ряд, то он расходится. Значит, и данный ряд тоже расходится.

Пример 51. Написать первые три члена ряда и исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сравнения.

Решение. Выпишем первые три члена ряда, полагая поочередно , и (суммирование членов ряда начинается с 1). Находим

; ; .

_{Для исследования ряда на сходимость применим предельный признак сравнения. Имеем ряд}

. (24)

_{Сравнивать ряд (24) будем с рядом}

(25)

(мы отбросили в числителе и знаменателе все степени , кроме старших).

Имеем

, ,

.

Т.к. предел отличен от и , то по предельному признаку сравнения ряды (24) и (25) ведут себя одинаково. Т.к. ряд (25) есть обобщенный гармонический ряд при , то он сходится. Значит, и данный ряд тоже сходится.

Пример 52. Написать первые три члена ряда и исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сравнения.

Решение. Выпишем первые три члена ряда, полагая поочередно , и (суммирование членов ряда начинается с 1). Находим

; ; .

_{Для исследования ряда на сходимость применим предельный признак сравнения. Имеем ряд}

. (26)

_{Сравнивать ряд (26) будем с рядом}

. (27)

(мы отбросили в числителе и знаменателе все степени , кроме старших). Имеем

, ;

.

Так как предел отличен от и , то по предельному признаку сравнения ряды (26) и (27) ведут себя одинаково.

Так как ряд (27) есть обобщенный гармонический ряд при , то он расходится.

Значит, и данный ряд тоже расходится.

Пример 53. Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

Решение. 1) Выпишем первые четыре члена ряда, полагая поочередно , , и (суммирование членов ряда начинается с 1). Находим

; ; ; .

2) Найдем интервал сходимости данного степенного ряда. Имеем

, .

Вычислим предел

.

По признаку Даламбера для знакопеременных рядов данный ряд сходится, если . Решая последнее неравенство, получаем, что ряд сходится при , т.е. при .

3) Выясним, как ведет себя ряд на концах интервала сходимости. При получаем ряд

.

Это обобщенный гармонический ряд, для которого , он сходится. При получаем ряд

.

Это знакочередующийся ряд, для него

, и ,

т.е. выполняются оба условия признака Лейбница. По теореме Лейбница он сходится, причем сходимость условная.

Таким образом, данный степенной ряд сходится на обоих концах интервала сходимости. Его область сходимости .

Пример 54. Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

Решение. 1) Выпишем первые четыре члена ряда, полагая поочередно , , и (суммирование членов ряда начинается с 1). Находим

; ; ; .

2) Найдем интервал сходимости данного степенного ряда. Имеем

, .

Вычислим предел

.

Так как вычисленный предел меньше 1 при всех , то по признаку Даламбера для знакопеременных рядов данный ряд сходится на всей числовой прямой. Радиус сходимости данного ряда равняется , его область сходимости .

Пример 55. Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

Решение. 1) Выпишем первые четыре члена ряда, полагая поочередно , , , и (суммирование членов ряда начинается с 0). Находим

; ;

; .

2) Найдем интервал сходимости данного степенного ряда. Имеем

, .

Вычислим предел

Вычисленный предел больше 1 при всех действительных , отличных от 0. Поэтому, по признаку Даламбера для знакопеременных рядов данный ряд расходится при . Если , то указанный предел меньше 1, поэтому, данный ряд сходится при . Таким образом, радиус сходимости степенного ряда равен , а интервал сходимости вырождается в точку .

Пример 56. Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

Решение. 1) Выпишем первые четыре члена ряда, полагая поочередно , , и (суммирование членов ряда начинается с 1). Находим

; ;

; .

2) Найдем интервал сходимости данного степенного ряда. Имеем

, .

Вычислим предел

.

По признаку Даламбера для знакопеременных рядов данный ряд сходится, если . Решая последнее неравенство, получаем, что ряд сходится при .

3) Выясним, как ведет себя ряд на концах интервала сходимости. При получаем ряд

.

Это знакочередующийся ряд, для него

, и ,

т.е. выполняются оба условия признака Лейбница. По теореме Лейбница он сходится, причем сходимость условная.

При получаем ряд

. (28)

Ряд (28) получен из ряда

(29)

умножением на . Ряд (29) получен из расходящегося обобщенного гармонического ряда

,

для которого , путем отбрасывания первых двух членов.

Значит, ряд (29) также расходится, следовательно, расходится и ряд (28). Таким образом, данный степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом. Его область сходимости .

Пример 57. Вычислить с точностью .

Решение. Сначала рассмотрим разложение функции в степенной ряд (см. раздел Справочный материал, Таблица основных разложений функций в ряд):

.

Заменяя в последней формуле на , получим

.

Проинтегрировав в пределах от до обе части последнего равенства, получим

.

Ряд в правой части последней формулы является знакочередующимся и удовлетворяет условиям признака Лейбница. Т.к. третий его член по модулю меньше , то для обеспечения требуемой точности достаточно взять два первых члена ряда:

.

Пример 58. Вычислить с точностью .

Решение. Сначала рассмотрим разложение функции в степенной ряд (см. раздел Справочный материал, Таблица основных разложений функций в ряд):

.

Заменяя в последней формуле на , получим

.

Умножим обе части последнего равенства на , получим:

.

Проинтегрировав в пределах от до обе части последнего равенства, получим

.

Ряд в правой части последней формулы является знакочередующимся и удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Так как четвертый его член по модулю меньше , то для обеспечения требуемой точности достаточно взять три члена ряда:

.