5. Теория устойчивости грунтовых массивов

5.1 Задачи и методы теории устойчивости

5.1.1. Основные задачи теории устойчивости

Момент разрушения основания принято называть потерей устойчивости или исчерпанием его несущей способности. Разрушение основания происходит, главным образом, за счет сдвигов и выражается в быстром нарастании деформаций, вызванных пластическим течением грунта.

Любое безопасное состояние грунта, как угодно удаленное от предельного, будем называть устойчивым.

Основной предмет исследований теории устойчивости  разрушение грунта. Ранее мы иллюстрировали физическую суть данного явления на примере основания штампа в момент выпирания грунта из-под подошвы по некоторым поверхностям скольжения (см. п. 4.1). Сходные по существу процессы происходят и в других случаях. Оползневые явления с механической точки зрения представляют собой сдвиг или скольжение оползневого массива по несмещающимся породам. Давление грунта на подпорные сооружения также определяется силовым взаимодействием неподвижной грунтовой области и некоторого объема грунта, непосредственно примыкающего к сооружению и стремящегося обрушиться по определенной поверхности.

Таким образом, выделяют три основные задачи теории устойчивости:

 задача о несущей способности основания;

 задача определения устойчивости откосов и склонов;

 задача о предельном давлении грунта на ограждающие сооружения.

Задача о несущей способности основания. Обратимся еще раз к опыту со штампом, моделирующему работу основания реального фундамента Напомним основные моменты, имеющие отношение к устойчивости, и уточним терминологию.

Итак, при некоторой нагрузке на штамп P_u и соответствующем давлении p_u достигается предел, который называют несущей способностью основания. Под несущей способностью обычно понимают силу, а не напряжения. Силу P_u и давление p_u называют предельными. В опыте им соответствует вторая критическая нагрузка.

При нагрузках P < P_u говорят, что основание устойчиво, а при P  P_u оно переходит в состояние предельного равновесия, при котором сколь угодно малое увеличение нагрузки приведет к потере устойчивости основания. Схема потери устойчивости основания штампа (фундамента) дана на рис. 5.1. Стрелками обозначено направление пластического течения объема грунта по поверхностям скольжения и скорость v, с которой штамп непрерывно погружается в основание.

Равенство P  P_u означает, что в областях пластического течения напряжения достигли предела прочности (предела текучести) грунта, т.е. ,   функция текучести, в нашем случае закон КулонаМора. Иначе говоря, в этих областях грунт находится в предельном напряженном состоянии или в состоянии предельного равновесия.

Рисунок 5.1.  Задача о несущей способности

Задача о несущей способности заключается в определении предельной нагрузки на основание:

,

(5.1)

где , c и   прочностные характеристики и удельный вес грунта, b  ширина штампа (фундамента).

Задача определения устойчивости откосов и склонов. Необходимость определения устойчивости откосов и склонов возникает при оползневых процессах, возведении и эксплуатации откосов насыпей и выемок, строительстве на склонах или в непосредственной близости от них (рис. 5.2). В последнем случае устойчивость основания сооружения зачастую определяется устойчивостью откоса, при этом его обрушение может произойти при нагрузке меньшей, чем предельная для такого основания, если оно горизонтально.

Рисунок 5.2.  Задача об устойчивости склонов

В похожих условиях находится насыпь земляного полотна железной дороги. Разница состоит только в том, что давление фундамента в этом случае заменяется нагрузкой от верхнего строения пути и подвижного состава.

Кроме характеристик грунта и величины внешней нагрузки (если она есть), в этом классе задач важными факторами являются очертание склона, его крутизна и геологическое строение  характер напластования грунтов. При неблагоприятных условиях, таких как малая прочность грунтов, большая крутизна склона, наличие слоя слабого водонасыщенного глинистого грунта, активно развиваются оползневые процессы.

Потеря устойчивости в перечисленных случаях выражается в смещении оползневого массива по некоторой поверхности скольжения относительно несмещающихся пород. Грунт можно считать предельно напряженным в оползневом массиве или хотя бы по поверхности скольжения, в несмещающейся части основания предельное состояние отсутствует.

Устойчивость откосов и склонов традиционно оценивается величиной, называемой коэффициентом устойчивости:

,

(5.2)

где T  сумма силовых удерживающих факторов (сил или моментов); Q  сумма соответствующих сдвигающих факторов.

Говорят, что если , то склон устойчив, если , то произойдет обрушение, если , то грунт теоретически должен находится в предельном равновесии.

Задача о давлении грунта на ограждающие сооружения. В строительной практике часто прибегают к устройству различных ограждающих подпорных сооружений (рис. 5.3). Под действием разницы давлений грунта, расположённого за стенкой и перед стенкой, может произойти потеря устойчивости стенки в форме поступательного смещения или опрокидывания вокруг ребра A. При этом за стенкой образуется призма обрушения, а перед стенкой призма выпора грунта, в пределах которых грунт находится в предельном напряженном состоянии. Со стороны призмы обрушения на стенку действует активное давление грунта _a, со стороны призмы выпора  пассивное давление _p:

Рисунок 5.3.  Задача о предельном давлении на стенку

,

(5.3)

где h и  условно обозначают соответственно размеры подпорной конструкции и геометрию склона или основания по обе стороны от стенки.

Величины активного и пассивного давлений необходимы для правильного расчета прочности и устойчивости подпорного сооружения.

5.1.2. О методах решения задач теории устойчивости

В теории устойчивости грунтовых массивов используются различные модели грунта, принципы построения расчетных схем и методы решения конкретных задач. По существу, теорию устойчивости можно оформить в виде двух крупных направлений: теория предельного равновесия грунтов (ТПРГ) и приближенные методы расчета устойчивости.

Теория предельного равновесия грунтов является главной теоретической базой для определения предельной нагрузки. Она представляет собой систему строгих решений, объединенных общей постановкой задач и тесно связанных с математической теорией пластичности.

Основная область практического применения решений ТПРГ  задачи о несущей способности основания. Поэтому ТПРГ и задача о несущей способности будут объединены в одну главу. Получены также решения ТПРГ задач о предельном очертании склона, о предельном давлении на бровке откоса и некоторых других. Эти решения будут нами рассмотрены в соответствующих параграфах.

К сожалению, классические решения ТПРГ накладывают порой существенные ограничения на расчетные схемы  однородность и изотропность среды, упрощенность геометрии границ основания. По этой причине в задачах устойчивости откосов и склонов и определения предельного давления грунта на ограждения широко используют приближенные методы теории устойчивости.

Вместе с тем, ясность исходных положений и строгость теоретического обоснования результата заставляют отдавать предпочтение решениям ТПРГ перед результатами решений этих же задач, но полученных каким-либо иным способом.

Приближенные методы расчета устойчивости используются в случаях, когда применение строгих решений ТПРГ затруднено или невозможно.

Приближенные методы можно разделить на две группы. В первой группе методов вводятся какие-либо упрощения или допущения в строгие решения ТПРГ. В методах второй группы поступают следующим образом. Некоторой выбранной поверхностью, которая, как заранее полагают, должна быть поверхностью скольжения, выделяют в грунтовом массиве область обрушения. Полученную область разбивают на условные отсеки конечных размеров. Далее рассматривают силовое воздействие на каждый из них, но при этом напряженное состояние внутри отсеков не исследуется. Главные проблемы этих методов  неопределенность формы поверхности скольжения и неопределенность силового взаимодействия между отсеками. Это преодолевается посредством принятия ряда допущений относительно указанных проблем. Как следствие, данное направление теории устойчивости характеризуется большим количеством дополнительных гипотез, вводимых в расчет.

Несмотря на очевидную нестрогость, некоторые приближенные методы расчета получили многолетнюю апробацию на практике, во многих случаях являются единственно возможными, а их главным достоинством является простота, с какой можно учесть неоднородность грунтового массива и сложное очертание поверхности.

5.2 Теория предельного равновесия грунтов. Несущая способность оснований

5.2.1. Основные гипотезы плоской задачи ТПРГ

В настоящем учебнике в основном рассматриваются плоские задачи теории предельного равновесия грунтов (ТПРГ) [27, 29]. Строгие пространственные решения были получены только для частного случая  осесимметричного напряженного состояния, при котором напряжения распределяются симметрично относительно некоторой оси [3]. Кратко основы этих решений изложены в п. 5.2.6.

Перечислим основные гипотезы плоской задачи ТПРГ.

6. Основание находится в равновесии. Как и в теории линейно-деформируемой среды, необходимость введения этой гипотезы очевидна.

7. Каждая точка грунта в рассматриваемой области находится в предельном напряженном состоянии, т.е. напряжения отвечают закону КулонаМора. Поведение грунта при разрушении действительно свидетельствует о его предельном состоянии, а главное  разрушение происходит в виде сдвига, который лучше всего описывается законом Кулона, следовательно, и условием прочности КулонаМора. И хотя экспериментально установлено, что в момент разрушения не все точки грунта выходят в предельное состояние, и в опыте, и на практике было доказано, что принятие данной гипотезы обеспечивает получение вполне приемлемых результатов.

8. Деформации грунта не рассматриваются. Сразу оговоримся, что в более общих постановках ТПРГ большую роль играют скорости деформаций  так называемая кинематическая сторона или кинематический метод ТПРГ. Однако ниже будет рассматриваться только статический метод ТПРГ, в котором деформации среды отсутствуют в силу чисто математических особенностей постановки задачи. По этой причине иногда говорят, что плоская задача ТПРГ является статически определимой [21].

9. Грунт рассматривается как сплошное, однородное и изотропное тело. Отказ от этой гипотезы связан с трудностями, прежде всего, математического характера. Работ по анизотропии пластического течения грунта, как и по многослойному предельно напряженному основанию, сравнительно мало, и эта проблема находится в стадии разработки.

5.2.2. Постановка плоской задачи

При решении задач о напряженном состоянии грунтовой среды в равновесии должно находиться не только все основание в целом согласно гипотезе 1, но и каждая его частица. Это означает, что в любой точке грунта должны удовлетворяться дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого элемента (4.3) или (4.15), (4.29). Однако, как уже указывалось в п. 4.2.3, одних только уравнений равновесия недостаточно для того, чтобы однозначно определить напряженное состояние тела, поскольку в уравнениях равновесия число неизвестных превышает число уравнений (в два уравнения входит три неизвестных функции . Поэтому к уравнениям равновесия необходимо добавить еще одно уравнение, связывающее компоненты напряжения и выражающее физическую суть теории. Согласно гипотезе 2 в теории предельного равновесия грунтов таким уравнением, очевидно, должно быть уравнение предельного напряженного состояния грунта . Таким образом, определяющая система уравнений теории предельного равновесия грунтов в прямоугольной системе координат будет:

в прямоугольной системе координат

;

(5.4)

Запишем исходную систему уравнений (5.4) в несколько ином виде, который удобно использовать в некоторых случаях:

; ; ;

(5.5)

Здесь означают приведенные компоненты нормальных напряжений:

(5.6)

где  временное сопротивление всестороннему равномерному растяжению.

В решениях ТПРГ использование приведенных напряжений бывает очень удобным. Этот искусственный прием означает перенос на диаграмме Мора оси O на величину влево. Таким образом, в процессе решения задач удельное сцепление условно зануляется, и прочность грунта характеризуется только одним параметром  углом внутреннего трения . С помощью указанных формул перехода всегда можно приведенные значения напряжений пересчитать в действительные.

Заметим, что переход от уравнений равновесия и условия прочности (5.4), записанных в действительных напряжениях, к уравнениям (5.5), записанным в приведенных нормальных напряжениях, производится простой заменой нормальных напряжений на приведенные нормальные напряжения, поскольку, например:

. (5.7)

Сделаем еще одно замечание по терминологии. При изложении решений задач ТПРГ мы будем пользоваться следующей классификацией оснований, предложенной автором этой теории В.В. Соколовским [ ]:

• невесомый сыпучий основание ;

• весомый идеально-связный основание ;

• весомый идеально-сыпучий основание ;

• весомый сыпучий основание .

5.2.3. Каноническая система уравнений плоской задачи ТПРГ

Для решения конкретных задач, как правило, используется каноническая система уравнений, получаемая из исходной путем ряда преобразований. Полный вывод системы уравнений канонического вида весьма громоздок, поэтому приведем лишь основные этапы преобразований с соответствующими пояснениями, руководствуясь которым можно проверить справедливость предлагаемых выводов самостоятельно.

Прежде всего, введем две новые переменные:   приведенное среднее напряжение,   угол между осью Oz и направлением первого главного напряжения ₁ (рис. 5.4). Тогда компоненты напряжений определятся формулами:

, ,

(5.8)

Рисунок 5.4.  Схема к понятию  и 

Среднее приведенное напряжение здесь и далее будем обозначать не , а просто  без черты. Новые переменные  и  можно выразить через напряжения следующим образом:

, .

(5.9)

Важно, что подстановка (5.8) в условие прочности КулонаМора (последнее уравнение в (5.4)), тождественно ему удовлетворяет.

Подставим (5.8) в уравнения равновесия (5.4), предварительно выполнив дифференцирование

; ; ; .

(5.10)

Коэффициенты A_ij введены для краткости дальнейшего изложения.

В результате получим основную систему уравнений

;

,

или, применяя коэффициенты A_ij по (5.10),

; .

(5.11)

Заметим, что термин «основная» применяют и к другим видам системы (5.11).

Итак, решение плоской задачи ТПРГ будет сводиться к решению двух дифференциальных уравнений (5.11), содержащих две неизвестные функции  и  координат x и z. Если эти функции будут найдены, то по формулам (5.8) определятся все компоненты напряжений. Аналогичную в известной степени роль играет функция Эри в ТЛДС.

Уравнения (5.11) содержат четыре неизвестных частных производных функций  и . Уменьшим их количество до двух. Из выражений для полных дифференциалов

, ,

имеем

, .

(5.12)

Теперь умножим оба уравнения (5.11) на dx и подставим в них (5.12). Результат запишем в виде

; .

(5.13)

В уравнениях (5.13):

, , ;

, , .

(5.14)

Выражения (5.13), как и (5.11), с математической точки зрения представляют собой систему квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа. Опуская строгое математическое обоснование, скажем лишь, что решение системы (5.13) или (5.11) обычно сводят к решению обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями, которые мы определим по следующей методике.

Решая систему (5.13) методом Крамера относительно производных, имеем

; .

(5.15)

Если знаменатель и числитель в (5.15) будут отличны от нуля, то производные и определятся единственным образом. Если только знаменатель равен нулю, то система несовместна. Этот особый случай, приводящий к понятию линий разрыва, нами рассматриваться не будет. Искомое решение получают, когда и числитель, и знаменатель приравнивают нулю одновременно. В этом случае значения производных и будут иметь бесконечное количество решений вдоль некоторых линий, уравнения которых и получаются из равенства нулю знаменателя и числителя. Такие линии в теории дифференциальных уравнений называются характеристиками.

Обратим внимание на то, что числители (5.15) содержат дифференциалы всех переменных , в то время как знаменатели  только dz и dx (5.14). Тогда приравнивая нулю знаменатель

,

имеем квадратное уравнение относительно производных . Решая его с учетом (5.10) и (5.14), выполнив необходимые преобразования, получим дифференциальные уравнения характеристик

, .

(5.16)

Напомним физический смысл параметра   это угол между направлением первого главного напряжения ₁ и линиями скольжения (рис. 5.4). А поскольку   угол наклона ₁ к Oz делаем важный вывод о том, что характеристики совпадают с линиями скольжения.

Затем, подставляя полученные выражения в числители (5.15), также приравненные нулю, например,

,

получим дифференциальный закон изменения параметров  и  вдоль характеристик (линий скольжения)

.

(5.17)

Особенность системы (5.15) такова, что, если , то корни уравнений и совпадают, в чем можно убедиться с помощью (5.10) и (5.14). Заметим также, что если систему (5.11) решить относительно другой пары производных  и , то в результате получим то же самое.

По характеристикам полностью выполняется исходная система уравнений (5.4), а их построение дает искомое поле предельных напряжений. Окончательно каноническая система уравнений статического метода ТПРГ примет вид:

, , .

(5.18)

Систему (5.18) еще называют канонической системой уравнений статики сыпучей среды.

Как было показано в главе 3 и как следует из первого уравнения (5.18), через точку предельно напряженного грунта, проходят две линии скольжения, образуя угол 2 (рис. 5.4). Согласно сказанному в уравнениях (5.18) верхние знаки отвечают линиям скольжения 1-го семейства, а нижние знаки  линиям скольжения 2-го семейства.

Решение канонической системы (5.18) редко удается получить в аналитическом виде, поэтому в общем случае, как правило, прибегают к численному интегрированию, которое будет нами рассмотрено позже в п. 7.1. В этой главе приведем несколько простых решений в замкнутом виде, а при необходимости будем делать ссылки на указанный п. 7.1.

5.2.4. Области простейших предельных состояний грунта

Здесь разберем области простейших предельных состояний грунта, из которых в дальнейшем будем составлять решения практически важных задач. Некоторые замкнутые решения можно получить непосредственно из исходных уравнений (5.4)…(5.7), для других удобнее использовать канонические уравнения (5.16).

Вначале рассмотрим предельные напряженные состояния грунта в области, ограниченной сверху плоскостью, к которой приложено равномерное распределенное давление (рис. 5.5, а, б). Ось Oz совпадает с направлением силы тяжести. Далее, поскольку на поверхности z  0 касательные напряжения отсутствуют, можно предположить, что в силу симметрии расчетной схемы они равны нулю и внутри основания. Поэтому являются главными напряжениями. Кроме того, так как граничные условия на поверхности основания не зависят от координаты х, естественно предположить, что и внутри основания напряжения не зависят от этой координаты, поэтому . Вследствие сказанного второе уравнение из системы (5.6) тождественно обращается в нуль, а оставшаяся часть принимает очень простой вид:

Рисунок 5.5.  Минимальное (а) и максимальное (б) напряженное состояние

.

(5.19)

Частная производная заменена здесь на простую производную потому, что в рассматриваемом случае напряжение оказалось функцией только одного переменного .

Напряжение определим, проинтегрировав первое из уравнений (5.17), а напряжение выразим из второго уравнения:

,

(5.20)

или в действительных значениях

,

(5.21)

где  постоянные интегрирования. Очевидно, что .

Таким образом, мы имеем два решения и соответственно два вида предельных напряженных состояния грунта.

Минимальное напряженное состояние. Минимальным напряженным состоянием грунта называют предельное напряженное состояние (рис. 5.5, а), отвечающее верхним знакам в (5.18). Если для этого случая давление на поверхность основания обозначить буквой p, приведенное давление соответственно будет равно , то согласно (5.18) при имеем

,

(5.22)

приведенное среднее напряжение соответственно будет

,

(5.23)

Поскольку = 0, то и являются главными напряжениями. При этом из формул (5.19) видно, что есть наибольшее , а  наименьшее главные напряжения. Обращаясь к понятию о площадках и линиях скольжения, можем заключить, что через каждую точку области минимального напряженного состояния проходят две площадки и соответственно две линии скольжения, составляющие с направлением оси O (с направлением ) углы . В результате сетка линий скольжения (рис. 5.5, а) образована прямыми, наклоненными к оси Oz под углом (первое семейство) и углом (второе семейство линий скольжения). При ограниченной ширине полосы загружения О'О область минимального напряженного состояния представляет собой треугольник О'ОС, ограниченный крайними линиями скольжения первого и второго семейств, проходящими через края полосы загружения.

Максимальное напряженное состояние. Максимальным напряженным состоянием грунта называют предельное напряженное состояние грунта (рис. 5.5, б), отвечающее нижним знакам в (5.18). Если для этого случая приведенное давление на поверхность основания обозначить символом , что соответствует действительному давлению q, то согласно (5.18) на поверхности основания при должно выполняться граничное условие и мы имеем

,

(5.24)

а приведенное среднее напряжение будет

.

(5.25)

Вследствие того, что = 0, напряжения и являются главными, причем из формул (5.21) видно, что  наименьшее, а  наибольшее из них. Поэтому площадки и линии скольжения в каждой точке области максимального напряженного состояния грунта составляют с осью Oх (с направлением ) углы ± . В результате образуется сетка линий скольжения, в которой первое семейство линий наклонено к оси х под углом , а второе  под углом . При ограниченной ширине полосы загружения ОА область максимального напряженного состояния ограничивается треугольником ОАВ, образованным крайними линиями скольжения первого и второго семейства, проходящими через края полосы загружения (см. рис. 5.5, б).

Область переходного предельного состояния в невесомом основании. Рассмотрим теперь так называемую область переходного предельного состояния или зону радиального веера в невесомом грунте ( ). Определим предельное напряженное состояние грунта в области ОВС (рис. 5.6, а), в которой первое семейство линий скольжения представлено отрезками прямых , исходящими из точки O (такую точку называют особой). По общему свойству линий скольжения второе семейство должно состоять из кривых, пересекающих радиальные прямые под постоянным углом .

Рисунок 5.6.  Область радиального веера

Согласно рис. 5.6, б, дифференциальное уравнение таких кривых имеет вид:

,

(5.26)

Проинтегрировав его, получим

,

(5.27)

где  начальный радиус кривой при значении угла   ₀.

Отсюда

,

(5.28)

и окончательно получаем

.

(5.29)

Известно, что это уравнение логарифмической спирали. Именно логарифмическая спираль пересекает свои радиусы-векторы под постоянным углом, частным случаем которой является окружность, когда этот угол равен .

Описанная сетка линий скольжения может иметь место в невесомом грунте ( ).

Пренебрежение влиянием собственного веса на предельное напряженное состояние грунта допустимо, если вес области ОВС пренебрежимо мал в сравнении с силами, действующими на ее границах. При прочих равных условиях указанное допущение тем меньше сказывается на точности решения задачи, чем меньше размеры области. В самом деле, если за характерный размер области принять, например, длину границы ОВ  отрезок , то длины остальных границ ВС и ОС, а вместе с ними и величины граничных сил будут пропорциональны . В то же время площадь и вес области, очевидно, пропорциональны . Поэтому, если уменьшается в n раз, то и граничные силы уменьшаются в n раз, тогда как вес области уменьшается в n² раз. Следовательно, при вес области становится пренебрежимо малым в сравнении с граничными силами. В результате в бесконечно малой окрестности точки О решение для невесомого грунта становится строгим. Как будет видно из дальнейшего, оно необходимо для получения приближенного решения во всей переходной области ОВС, имеющей конечные размеры.

Определим предельное напряженное состояние в области. Второе уравнение канонической системы (5.16) при примет вид:

.

(5.30)

Выбирая здесь верхний знак, отвечающий 1-му семейству характеристик (рис. 5.6,а), вдоль которого производится интегрирование, имеем:

, ,

, ,

.

(5.31)

Из (5.31) следует, что напряжения в области переходного напряженного состояния не зависят от радиуса.

Области простейших напряженных состояний в идеально-связном грунте. Одна из особенностей техники решения задач для идеально-связной среды (  0) состоит в том, что здесь нельзя использовать приведенные напряжения, поскольку . Условие прочности КулонаМора для идеально-связной среды запишется в виде

или

(5.32)

Уравнения (5.32) еще называют условием прочности Треска. Его широко используют в расчетах строительных конструкций.

Компоненты предельных напряжений даются равенствами:

,

(5.33)

где  среднее напряжение (не приведенное).

Рассмотрим области минимального (рис. 5.7, а) и максимального (рис. 5.7, б) напряженного состояния. Как и ранее касательных напряжений на границе основания нет, поэтому с учетом того, что являются главными напряжениями, причем _x не зависит от x, и с учетом (5.32) исходная система (5.4) примет вид

Рисунок 5.7.  Простейшие виды напряженных состояний в идеально-связной среде

.

(5.34)

Интегралы этой системы для граничных условий, показанных на рис. 5.7, а, б, имеют вид:

для минимального напряженного состояния

(5.35)

для максимального напряженного состояния

(5.36)

Тогда среднее напряжение для минимального напряженного состояния определится как

,

(5.37)

для максимального напряженного состояния

.

(5.38)

Угол между характеристиками двух семейств (так как ), т.е. они всегда пересекаются под прямым углом (рис. 5.7, а, б).

Итак, области максимального и минимального напряженного состояния представлены прямоугольными равнобедренными треугольниками (рис. 5.7, а, б).

Далее, каноническая система уравнений (5.16) для идеально-связной среды имеет вид:

(5.39)

Чтобы это показать, распишем из второго уравнения (5.16)

слагаемое, содержащее среднее приведенное напряжение

.

Следует помнить, что хотя среднее напряжение для идеально-связной среды и среднее приведенное напряжение для сыпучей среды обозначаются одним символом , определяются они по-разному.

Обычно при решении задач о предельном равновесии идеально-связной среды вводят следующую подстановку:

(5.40)

Тогда каноническая система уравнений для идеально-связной среды примет вид:

(5.41)

В переходной области также, как и для невесомой сыпучей среды, можно выделить семейство характеристик, представляющих собой пучок прямых, выходящих из особой точки O, и семейство кривых, пересекающих прямые под постоянным углом 2  90 (рис. 5.7, в). Их уравнение согласно (5.23)

.

(5.42)

т.е. первое семейство представлено окружностями, с центром особой точке O.

Проинтегрируем второе уравнение (5.41) вдоль характеристик 1-го семейства

,

откуда

.

(5.43)

Здесь s₀ и ₀  определяются граничными условиями.

5.2.5. Несущая способность оснований (задача Прандтля, 1920 г.)

Предельное давление на невесомое основание. Полученные в п. 5.2.4 результаты позволяют решить ряд задач теории предельного равновесия грунтов в аналитическом виде при условии, что можно пренебречь влиянием собственного веса грунта или внутренним трением. Одни из таких решений  решения Л. Прандтля задач о предельном давлении на невесомое и идеально-связное основание.

Ограничимся случаем симметричной задачи, когда фундамент загружен центральной сосредоточенной силой и с обеих сторон от него на основание действует равномерное давление q (рис. 5.8). Это давление проявляется за счет веса слоя грунта толщиной d, расположенного выше подошвы фундамента. Его действительная величина определяется выражением , где d  глубина заложения фундамента, а приведенная . Необходимо установить предельную величину давления фундамента на основание p_u.

Рисунок 5.8.  К определению несущей способности невесомого основания

Область предельного напряженного состояния основания с сеткой линий скольжения показана на рис. 5.8. Она состоит из области минимального напряженного состояния ООС, двух симметрично расположенных областей переходного напряженного состояния ОВС, ОСВ и двух симметричных областей максимального напряженного состояния ОАВ, ОВА. Напряженное состояние в этих областях описано выше. Остается только объединить эти результаты так, чтобы получилось общее непрерывное поле предельных напряжений. Непрерывность напряжений будет соблюдена, если непрерывным будет приведенное среднее напряжение  на границах ОВ и ОС между соответственными областями. Речь идет только о правой половине общей области предельного непрерывного состояния грунта. Левая половина является зеркальным отражением правой относительно плоскости симметрии.

Важно заметить, что в переходной области ОВС угол  меняет свое значение от на границе ОВ, принадлежащей зоне максимального состояния ОАВ, где всюду , до на границе ОС, принадлежащей зоне минимального состояния ООС, где всюду .

В решаемой задаче полностью определено предельное напряженное состояние в области ОАВ, в том числе формулой (5.22) определено приведенное среднее напряжение . В области переходного напряженного состояния ОВС напряжения вычислены с точностью до произвольного постоянного множителя . Эту постоянную установим из граничного условия ОВ, приравнивая выражение (5.31) при к выражению (5.22) при = 0:

.

(5.44)

Отсюда

, .

Теперь напряжения полностью определены и в области ОВС. В частности, приведенное среднее напряжение вдоль ОС согласно (5.44) и (5.31) при будет

.

Заметим, что угол раствора области переходного напряженного состояния равен (рис. 5.8). Используя угол раствора можно получить аналогичные выражение через формулу (5.30).

Далее приравняем к этому выражению выражение для приведенного среднего напряжения (5.20) при = 0 и в области OOC:

,

(5.45)

Отсюда найдем предельное давление на основание:

.

(5.46)

Выражение (5.46) представляет собой формулу для предельного давления штампа (фундамента) на невесомое основание, которую иногда называют формулой Прандтля.

Проанализируем степень влияния угла внутреннего трения  на величину предельной нагрузки с помощью относительной приведенной величины , (см. табл. 5.1).

Таблица 5.1  Влияние угла внутреннего трения  на предельную нагрузку

	10	20	30	40
	2,47	6,40	18,4	64,2

Приведенные данные показывают, что предельное давление на основание быстро растет с ростом прочности грунта за счет увеличения угла внутреннего трения.

Перепишем (5.46) в несколько ином виде, который нам понадобится в дальнейшем

,

(5.47)

где  коэффициенты несущей способности, зависящие от :

.

(5.48)

Используя (5.25), (5.32), а также равенство , можно показать, что ширина призмы выпора равна:

,

где b  ширина загруженной площади (штампа).

Предельное давление идеально-связное весомое основание. В целом данный случай вполне аналогичен случаю невесомого сыпучего основания (рис. 5.9). Зоны OAB и OOC соответствуют максимальному и минимальному напряженному состоянию, зона OBC суть область радиального веера. При этом в зоне OAB , в зоне OOC , а в области радиального веера OBC .

Рисунок 5.9.  К определению несущей способности идеально-связного основания

В зоне максимального напряженного состояния OAB согласно (5.36), (5.40) и рис. 5.11 имеют место равенства

.

(5.49)

Сетка линий скольжения имеет очертание равнобедренного треугольника с прямым углом при вершине и шириной призмы выпора . Это обусловлено тем, что линии скольжения 1-го семейства переходной области представлены окружностями, как было показано в п. 5.2.4.

Для переходной зоны OOC согласно (5.40), (5.43) и (5.49) можно записать

,

.

(5.50)

Из (5.50) видно, что в отличие от невесомой среды здесь в переходной зоне напряжения зависят от глубины. Тогда на границе OC, учитывая, что , выражение для напряжений примет вид

,

(5.51)

Сравнивая (5.51) и формулу (5.37) для напряжений в зоне минимального напряженного состояния OOC имеем

,

Полагая здесь p равное искомому p_u, запишем уравнение для предельного давления на идеально-связное основание

,

(5.52)

Полученное уравнение иногда называют формулой Прандтля для предельного давления на идеально-связное основание.

Заметим, что предельное давление (5.52) не зависит от собственного веса грунта, хотя мы рассматривали весомую среду. С физической точки зрения это можно объяснить отсутствием внутреннего трения.

В общем случае весомого сыпучего основания, когда в замкнутом виде решения получить не удается. Здесь прибегают к численному интегрированию канонической системы уравнений статики сыпучей среды (5.16) по краевым задачам (см. п. 7.1). Впервые эту задачу для случая одностороннего выпора грунта решил В.В. Соколовский, а наиболее общее и важное с практической точки зрения решение для двухстороннего выпора было дано М.В. Малышевым и Ю.И. Соловьевым, которое мы и рассмотрим.

Расчетная схема задачи дана на рис. 5.10. Аналогично рассмотренным частным случаям здесь можно выделить зону максимального напряженного состояния OAB, область радиального веера OBC, зону под штампом OOC. Обратим внимание, что характеристики представлены прямыми только в зоне OAB, в остальных областях они криволинейны, т.е. и в OBC, и в OOC полученные ранее замкнутые решения не применимы. Для построения решения в этих зонах будем вынуждены обратиться к понятиям краевых задач, техника решения которых подробно рассмотрена в п. 7.1. Здесь же проследим основной ход построения поля напряжений, делая необходимые ссылки на указанный параграф.

Рисунок 5.10.  Сетка линий скольжения в задаче Прандтля для общего случая весомого сыпучего основания и эпюры предельных нормальных и касательных напряжений

по подошве штампа

Итак, предельное равновесие в зоне OAB определяется согласно (5.24), тогда на границе OB параметры канонической системы уравнений (5.16) равны

,

(5.53)

Зона OBC аналогична областям радиального веера, рассмотренным нами ранее, однако здесь, как уже указывалось, выполняется численное интегрирование канонической системы уравнений (5.16). В результате определяем характеристику OC.

После нахождения характеристики OC можно поступить двояко. Во-первых, можно рассмотреть равновесие части основания ABCC, учитывая, что на CC в силу симметрии касательные напряжения отсутствуют, а на линии скольжения ABC определены все напряжения. В этом случае получим вертикальную равнодействующую предельного давления. Во-вторых, можно численно решить уравнения (5.16) при известных на характеристике OC и условиях на оси симметрии CC:

(5.54)

Оказалось, что полученный таким путем результат можно привести к виду, аналогичному (5.47):

,

(5.55)

где N_, N_q, N_c  коэффициенты несущей способности, причем значения N_q, N_c, получаемые в численных решениях, с большой точностью совпадают с рассчитанными по формулам (5.48).

Коэффициент также зависит только от угла внутреннего трения . Коэффициент определяется только в численных решениях, на основании которых составлены соответствующие таблицы. Приведем несколько его значений (табл. 5.2).

Таблица 5.2  Значения коэффициента

	5	10	15	20	25	30	35	40	45
N	0,20	0,6	1,35	2,88	5,87	12,39	27,50	66,01	177,61

Из приведенных данных видно, что на значение коэффициента , также как и на , существенное влияет величина угла внутреннего трения .

Для удобства практического использования результатов полученного решения при работе на ЭВМ можно предложить какую-либо аппроксимационную зависимость, например,

.

Данная формула в сочетании с (5.48) и (5.57) позволяет определять предельное давление на основание в общем случае весомого сыпучего грунта для вертикально приложенной нагрузки и с учетом трения по подошве фундамента (штампа).

Обращает на себя внимание тот факт, что если в случаях невесомого и идеально-связного основания эпюра предельных нормальных напряжений по подошве была равномерной, а касательные напряжения отсутствовали, то в общем случае эпюра нормальных напряжений имеет выпуклую форму с максимальным значением под серединой штампа (фундамента), и, кроме того, появляются касательные напряжения. Это означает наличие трения по подошве штампа, который в этом случае называют шероховатым. Таким образом, формула (5.55) определяет среднее значение предельного давления по подошве.

Можно решить аналогичную задачу с несколько иной последовательностью краевых задач, потребовав отсутствие трения по подошве штампа, который в этом случае будет называться гладким. Такое решение, как уже отмечалось, было получено и подробно проанализировано В.В. Соколовским. В рассмотренном нами случае жесткого штампа имеет место двухсторонний выпор грунта, как говорят, по схеме Прандтля, при гладком штампе  односторонний выпор по схеме Хилла. При этом по схеме Хилла среднее предельное давление по подошве окажется меньше, чем по схеме Прандтля. Для частных случаев невесомого и идеально-связного оснований предельное давление по обеим схемам совпадает.

Отметим, что формула (5.55) используется в нормах проектирования для расчета несущей способности оснований.

В заключение коснемся случая весомого идеально-сыпучего основания. Очевидно, что при определении предельного давления по формуле (5.55) нужно принять . Для непригруженного ( ) идеально сыпучего основания (5.55) примет вид

.

(5.56)

Данный предельный переход подтверждает гипотезу, выдвинутую еще Н.М. Герсевановым, о том, что при одинаковых граничных условиях предельное состояние весомого сыпучего грунта суммируется из двух частных случаев  невесомого сыпучего и весомого идеально-сыпучего.

5.2.6. О построении осесимметричных решений

В осесимметричных задачах теории предельного равновесия грунтов ось симметрии принимается совпадающей с направлением силы тяжести, т.е. вертикальной. Осесимметричное напряженное состояние рассматривается в цилиндрической системе координат . На рис. 5.11 в системе координат показаны положительные направления напряжений , действующих по площадкам элементарного объема грунта, выделенного двумя бесконечно близкими плоскостями, проходящими через вертикальную ось , двумя цилиндрическими поверхностями и двумя горизонтальными плоскостями. Единственная объемная сила  удельный вес грунта  действует вертикально вниз.

Рисунок 5.11.  Напряженное осесимметричное состояние

Дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрической системе координат при осесимметричном напряженном состоянии имеют вид:

, .

(5.57) (5.58)

Система двух уравнений (5.57)…(5.58) содержит четыре неизвестные функции напряжений _z, _r, _ и _rz от координат . Для замыкания этой системы необходимы еще два дополнительных условия.

В качестве первого дополнительного условия в теории предельного равновесия грунтов принимается условие прочности КулонаМора:

.

(5.59)

В качестве второго условия принимается равенство главного напряжения _ наибольшему или наименьшему главному напряжению:

или .

(5.60)

Причем _ = ₃ при деформациях в основании, направленных от оси симметрии, а _ = ₁ при деформациях, направленных к оси симметрии. Условность такого подхода заключается в том, что в статическом методе ТПРГ деформации не рассматриваются (см. п.4.2.2). Однако в большинстве работ по осесимметричному предельному напряженному состоянию придерживаются данной гипотезы.

Равенства (5.60) еще называют концепцией полной плстичности или гипотезой полной плстичности.

Аналитических решений для осесимметричного напряженного состояния в основании получено не было. Для выполнения численных решений методом конечных разностей система уравнений (5.57)…(5.60) преобразуется к системе дифференциальных уравнений, справедливых вдоль линий скольжения, т.е. к каноническому виду. Обозначим через угол  наклон первого главного напряжения к оси , а величиной  приведенное среднее напряжение.

Тогда напряжения _z, _r, _ и _rz можно определить формулами:

, , ; при  = 3, при  = 1.

(5.61)

Подставляя выражения (5.61) в уравнения равновесия (5.57)…(5.58) и выполнив необходимые преобразования аналогично описанным в п. 5.2.3, получаем каноническую систему уравнений осесимметричной задачи статики сыпучей среды, записанную по характеристикам:

, , , ,

(5.62)

где .

Эта система впервые была получена В.Г. Березанцевым. Верхние знаки в уравнениях (5.62) соответствуют деформациям основания, направленным от оси, а нижние  деформациям, направленным к оси.

В качестве примера на рис. 5.12 приведены результаты построения сетки линий скольжения и определения предельного давления в основании под цилиндрическим круговым фундаментом по В.Г. Березанцеву. Это решение содержит следующее упрощение  очертание линий скольжения получено не прямым интегрированием канонической системы уравнений (5.62), а взято из решения плоской задачи для невесомой среды.

Рисунок 5.12.  Сетка линий скольжения в осесимметричной задаче Прандтля

по В.Г. Березанцеву

Предельная нагрузка дается аналогичной (5.55) формулой

,

где N_, N_q, N_c  коэффициенты несущей способности круглого штампа (табл. 5.3), r  радиус штампа.

Таблица 5.3.  Коэффициенты несущей способности круглого штампа (по В.Г. Березанцеву)

	5	10	15	20	25	30	35	40	45
N	0,725	1,694	3,564	7,385	15,63	34,64	82,45	216,5	650
Nq	1,428	2,493	4,469	8,308	16,19	33,56	75,32	187,5	535,7
Nc	6,797	9,411	13,57	20,54	32,94	56,69	106,4	222,5	5,348

Надо сказать, что при построении осесимметричных решений приходится сталкиваться с наибольшим количеством трудностей. Во-первых, как уже отмечалось, это  отсутствие аналитических решений даже в простейших случаях. Во-вторых, в рамках концепции полной пластичности удается получить решения для ограниченного диапазона граничных условий. Это вызвано тем, что уже в первой краевой задаче линии скольжения обладают существенной кривизной. В-третьих, сравнивая (5.60) и (5.62) можно убедиться, что на оси симметрии правые части третьего и четвертого уравнений (5.62) обращаются в неопределенности типа .

В заключение отметим, что некоторые приближенные решения осесимметричных задач ТПРГ используются в нормах проектирования при определении расчетного сопротивление грунта под нижним концом буронабивной сваи.

5.3 Устойчивость откосов и склонов

5.3.1. Предельная высота вертикального откоса

Рассмотрение проблемы устойчивости откосов и склонов начнем с наиболее простой задачи определения предельной высоты вертикального откоса. В строительстве, особенно при производстве работ, этот вопрос имеет самостоятельное значение.

Из практического опыта известно, что грунт в состоянии держать весьма крутые и даже вертикальные откосы. Однако также понятно, что высота такого откоса не может быть бесконечно большой  она зависит от прочности грунта и внешнего давления на бровке откоса.

Рассмотрим схему, показанную на рис. 5.13. Грунт характеризуется параметрами прочности  и c, удельным весом . Для общности предположим, что на бровке действует нагрузка интенсивностью p. Предельную высоту вертикального откоса обозначим через h_пр. Таким образом, откос находится в предельном напряженном состоянии. Поскольку граница откоса принимается свободной, то напряжения _z и  _x на ней  главные, причем в нижней точке откоса

Рисунок 5.13.  К определению предельной высоты вертикального откоса

.

(5.63)

Подставим напряжения (5.63) в условие прочности КулонаМора в главных напряжениях:

,

(5.64)

Тогда для свободного от внешней нагрузки вертикального откоса его предельная высота определится как

(5.65)

5.3.2. Предельное давление на невесомый откос

Прежде чем переходить к более общим случаям, рассмотрим задачу о предельном давлении на невесомый откос в рамках строгого метода ТПРГ. На практике такая идеализация может быть допустима, если собственный вес откоса считать незначительным по сравнению с ожидаемой на него нагрузкой.

Область предельного напряженного состояния ОАВСD, представленная на рис. 5.14, состоит из области максимального ОАВ, переходного ОВС и минимального ОСD напряженных состояний грунта. На свободной поверхности откоса ОА = 0. Поэтому здесь можно считать действующей приведенную пригрузку , и напряженное состояние в области ОAВ определится формулами (5.21) при = 0, если заменить _x и _z на ₁ и ₃ соответственно. В частности, согласно (5.22) приведенное среднее напряжение

Рисунок 5.14.  Схема к определению предельного давления на невесомый откос

.

(5.66)

Граница ОВ составляет с осью Oz угол

,

(5.67)

где   угол наклона откоса к оси Oх.

Заметим, что в области ОAВ .

Как и в задаче о предельном давлении на невесомое горизонтальное основание, в зоне ОВС согласно (5.31)

.

(5.68)

Произвольную постоянную ₀ определим, приравняв (5.68) к (5.66) при :

.

Отсюда

(5.69)

В результате полностью определяются напряжения и в области ОВС. При этом вдоль границы ОС согласно (5.68) при с учетом (5.69) имеем

.

(5.70)

Наконец, приравнивая (5.70) к (5.22) при = 0 и p  p_u

,

определим предельное давление на откос:

.

(5.71)

Полагая в (5.71) , имеем формулу Прандтля (5.46) для случая горизонтального основания при .

5.3.3. Равноустойчивый контур откоса

В предыдущем пункте мы рассмотрели задачу о предельном давлении на откос в предположении о невесомости грунта. На практике наряду с внешней нагрузкой собственный вес является существенным фактором, способствующим обрушению склонов. Поскольку решения, приводимые в настоящем пункте являются строгими решениями ТПРГ, грунт, как и ранее, принимается однородным и изотропным.

Рассмотрим вначале задачу о равноустойчивом очертании естественного откоса. Расчетная схема показана на рис. 5.15, а. Как следует из п. 5.3.1, грунт может держать вертикальный откос, максимальная высота которого h_пр рассчитывается по формуле (5.65). Очевидно, что если высота откоса будет меньшей, то предельное состояние в нем не достигается. Следовательно, чтобы склон находился в предельном состоянии необходимо на границе OD приложить давление p, равное бытовому давлению от веса слоя грунта мощностью h_пр.

Рисунок 5.15.  Схемы определению контура равноустойчивого склона: (а)  при давлении сверху, равному бытовому от предельной высоты вертикального откоса, (б)  при давлении большем, чем бытовое от предельной высоты вертикального откоса

.

(5.72)

Теперь в откосе можно выделить две зоны  зона минимального напряженного состояния OCD и приоткосный участок ACO. В зоне OCD согласно (5.22) имеют место равенства:

.

(5.73)

В приоткосном участке ACO приходим к необходимости численной реализации канонической системы уравнений (5.16). Принципы этого решения изложены ниже в п.7.1.3. Особенность данного решения заключается в том, что очертание контура заранее неизвестно, оно определится лишь в результате решения.

На рис. 5.16 даны схемы равноустойчивых контуров для весомой идеально-сыпучей среды (а), весомой идеально-связной среды (б) и общего случая сыпучей среды (в). Из рисунка видно, что случаи идеально-сыпучего и идеально-связного грунта являются предельными для общего случая.

Рассмотрим построение равноустойчивого склона, если на бровке действует нагрузка (рис. 5.15, б)

.

Рисунок 5.16.  Очертание равноустойчивых откосов для случаев (а)  идеально-сыпучего грунта, (б)  идеально-связного грунта, (в)  весомого сыпучего грунта

Здесь выделяют три зоны: зона минимального напряженного состояния OCD, приоткосный участок ACB и переходная область OCB. Таким образом, компоновка краевых задач совпадает с рассмотренной в п. 5.3.2 с тем отличием, что в невесомом откосе решение строилось с границы AO к границе OD, а в нашем случае наоборот  с OD к OA. В остальном схема численного решения та же.

На рис. 5.17 показаны различные очертания равноустойчивого контура при различных давлениях p на бровке.

Рисунок 5.17.  Очертание равноустойчивого склона при различном давлении на бровке

5.3.4. Расчет устойчивости откосов и склонов методами отсеков

Перейдем к рассмотрению наиболее общего случая определения устойчивости откосов и склонов, когда очертание склона и геологическое строение может быть произвольным, а положение и величина нагрузок, действующих на склон, заданы. Как уже отмечалось, при столь общих предположениях строгих решений ТПРГ получить не удается. Поэтому здесь прибегают к приближенным методам расчета, так называемым, «методам отсеков».

Напомним принципиальную суть этих методов (п. 3.1.2) на примере плоской задачи. В заданном склоне, устойчивость которого требуется определить, проводят некоторую поверхность скольжения, выделяя, таким образом, область обрушения грунта. Далее эту область условно разбивают на отсеки, для каждого из которых рассматривают систему действующих на него сил. Рассмотрев равновесие всего массива в целом или только сил, действующих на выбранной поверхности скольжения, делают вывод об общей устойчивости склона. При этом в процессе расчета требуется определить наиболее опасную линию скольжения, форма и положение которой также заранее неизвестны. Поэтому приходится выполнять несколько расчетов с разными поверхностями скольжения.

Рассмотрим последовательность вычислений. Пусть дан склон, очертание и геологическое строение которого показано на рис. 5.18. Зададимся некоторой поверхностью скольжения, форму и положение которой в первом приближении можно назначить, например, исходя из характера напластования слоев, или общих соображений о характере возможного обрушения склона. Поскольку решается плоская задача, будем поверхность скольжения иногда называть линией скольжения.

Рисунок 5.18.  Схема у расчету устойчивости произвольного склона

Вертикальными линиями выделенную область обрушения разобьем на n отсеков. Рассмотрим систему сил, действующих на произвольный i-ый отсек (рис. 5.19). Здесь придется сделать несколько допущений, без которых расчет существенно усложняется.

Для простоты предположим, что верхняя грань отсека свободна от нагрузки, которую, как будет показано ниже, при необходимости нетрудно учесть. По боковым граням действуют силы взаимодействия с соседними отсеками F_i и F_i. В простейшем варианте методов отсеков принимают, что эти силы взаимно уравновешены.

Далее определим собственный вес отсека

, (5.74)

где _i  средневзвешенный удельный вес грунтов, попадающих в i-ый отсек; A_i  площадь отсека, численно равная его объему, так как имеет место плоская задача.

Рисунок 5.19.  Система сил, действующих на i-ый отсек

Силу собственного веса приложим в центре подошвы отсека и разложим на нормальную и касательную составляющие к подошве

, , (5.75)

где _i  угол наклона подошвы к горизонту.

Касательная составляющая Q_i, как видно из рис. 5.19, будет стремиться сдвинуть отсек по линии скольжения. Этому препятствует сила трения T_i, возникающая по подошве, которую определим по закону Кулона в зависимости от нормальной составляющей N_i.

Таким образом, собственный вес каждого отсека с одной стороны способствует его смещению вниз по поверхности скольжения, а с другой  прижимает к несмещающимся породам, определяя величину удерживающей силы трения.

Чтобы перейти от напряжений, фигурирующих в законе Кулона, к силам умножим обе части (3.9) на площадь подошвы отсека l_i1, по которой и действуют рассматриваемые силы:

.

, (5.76)

где _i, c_i  угол внутреннего трения и удельное сцепление грунта, в котором находится подошва i-го отсека, l_i  длина подошвы i-го отсека.

Теперь, с помощью (5.74)…(5.76) найдем искомые силы, действующие на поверхности скольжения, по всем отсекам.

Для ответа на главный вопрос об обрушении склона используют коэффициент устойчивости, определяемый в нашем случае как

, (5.77)

где  сумма сил трения по поверхности скольжения, удерживающих склон;  сумма сдвигающих сил, действующих также по поверхности скольжения; n  количество отсеков.

Выражение (5.77) можно записать в развернутом виде с учетом (5.75), (5.76):

.

В случае, когда на поверхности склона заданы внешние нагрузки, поступают следующим образом. В пределах соответствующих отсеков определяют равнодействующие внешних воздействий P_i, которые, как и собственный вес, прикладывают к середине подошвы отсека. Тогда выражения (5.75) для нормальной и касательной силы в уровне подошвы примут вид

, ,

а коэффициент устойчивости можно переписать так:

. (5.78)

Если коэффициент устойчивости больше единицы, это означает, что величина удерживающих сил больше, чем сдвигающих, и, следовательно, склон устойчив. Однако сказанное справедливо только для одной рассчитанной линии скольжения.

Очевидно, что если принять линию скольжения другой формы или просто расположенную иначе, то система сил и, соответственно, коэффициент устойчивости изменятся. Таким образом, приходим к необходимости поиска опасной линии скольжения, которой бы отвечал минимальный коэффициент устойчивости. Именно он и является действительным коэффициентом запаса устойчивости по этому методу расчета, а соответствующая ему линия скольжения будет опасной. Эта задача формулируется как задача поиска минимального коэффициента устойчивости и решается методами вариационного исчисления:

, (5.79)

где z(x)  неизвестная функция, определяющая форму и положение поверхности скольжения.

Если задаться какой-либо определенной формой линии скольжения, то задача существенно упрощается.

Далее рассмотрим наиболее распространенную модификацию метода отсеков  метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения.

В этом методе предполагается, как видно из названия, что поверхность скольжения, по которой может произойти сдвиг грунта, представляет собой некоторую круглоцилиндрическую поверхность. Изложение метода проиллюстрируем применением его к расчету устойчивости откоса, в частности, откоса земляного полотна железной дороги. Он также широко используется для расчета устойчивости оснований сооружений. К этому случаю нетрудно перейти, развернув откос в основание.

Допустим, что в момент обрушения откоса область обрушения ABC (рис. 5.20, а) поворачивается вокруг мгновенного центра вращения О как жесткое тело с некоторой скоростью . В механике сплошной среды одним из фундаментальных является принцип виртуальных мощностей, согласно которому мощность работы внешних сил на виртуальных скоростях должна быть равна мощности работы внутренних сил на тех же скоростях. В рассматриваемой задаче к внешним силам относятся давление от подвижного состава, веса верхнего строения пути на земляное полотно и собственный вес области обрушения ABC. К внутренним силам относятся нормальные и касательные силы, действующие на поверхности скольжения AB.

Рисунок 5.20.  К расчету методом круглоцилиндрических поверхностей скольжения

Мощность работы внешних сил выражается произведением , а мощность работы внутренних сил  произведением , где ,  суммарные моменты внешних и внутренних сил относительно точки O. Поскольку внутренние силы определяются на поверхности скольжения, то они, следовательно, имеют предельные значения. Чтобы воспользоваться принципом виртуальных мощностей, внешние силы также должны быть предельными. Для этого их необходимо увеличить в такое число раз, чтобы было справедливым равенство виртуальных мощностей работы внешних и внутренних сил:

или

Величина

,

(5.80)

таким образом, представляет собой коэффициент устойчивости.

Момент внешних сил находится просто. С этой целью разделим область обрушения на n вертикальных отсеков шириной b_i. Подсчитаем их вес , где h_i  средняя высота i-го отсека, а также результирующие там, где имеется давление р. После этого можем записать

где l_i  плечи сил P_i и G_i.

Поскольку нормальные к поверхности скольжения силы проходят через центр вращения О, то момент внутренних сил определяется одними внутренними силами трения T_i:

Предельная величина этих сил выражается законом Кулона аналогично (5.76):

где  угол внутреннего трения и удельное сцепление грунта в пределах подошвы -го отсека;  длина подошвы отсека.

Для установления силы рассматривают равновесие i-го отсека (см. рис. 5.20, б) в предположении, как и ранее, что силы и , действующие на боковые грани отсека, самоуравновешены. Тогда величину силы определим, спроектировав все силы на направление нормали к подошве отсека (на направление радиуса, проходящего через центр подошвы отсека):

Собирая результаты, получим вполне аналогично (5.78)

.

(5.81)

Суммирование здесь выполняется по всем отсекам.

По формуле (5.81) можно вычислить коэффициент запаса устойчивости для любой выбранной круглоцилиндрической поверхности скольжения. Задача дальше заключается в том, чтобы отыскать наиболее опасную (экстремальную) поверхность скольжения, для которой коэффициент запаса устойчивости принимает минимальное значение. Иначе говоря, следует отыскать минимум функции (5.81). Как нетрудно видеть, коэффициент запаса устойчивости является функцией трех переменных: двух координат центра вращения и радиуса , в отличие от (5.79), где коэффициент устойчивости зависел от неизвестной функции.

В математике разработаны достаточно эффективные методы поиска экстремумов функции многих переменных. Тем не менее, задача эта достаточно трудоемкая. Если, однако, принять допущение, что экстремальная поверхность скольжения обязательно проходит через точку A, то коэффициент запаса устойчивости становится функцией координат центра вращения и трудоемкость решения задачи существенно уменьшается.

В целях упорядочения поиска экстремальной поверхности скольжения и соответствующего центра вращения рекомендуется следующая методика. Через точку А в направлении возможного положения экстремального центра вращения проводится прямая АА₁ (рис. 5.21). На этой прямой выбирается несколько центров вращения О₁, О₂, … с радиусами , ... через точку А проводятся поверхности скольжения I, II, ... . Дня них рассчитываются коэффициенты запаса устойчивости … . Перпендикулярно прямой АА₁ в некотором масштабе откладываются значения … . Полученные точки соединяют гладкой кривой. К ней проводится касательная, параллельная прямой АА₁. Координаты точки касания в первом приближении определяют координаты экстремального центра вращения, а соответствующее значение  в первом приближении экстремальный коэффициент устойчивости.

Рисунок 5.21.  Поиск экстремума в методе круглоцилиндрических

поверхностей скольжения

Для того, чтобы получить второе приближение, через точку относительного минимума проводится прямая DD₁ ортогонально прямой АА₁. На прямой DD₁ выбирается ряд мгновенных центров вращения О₁, О₂, … , и процесс повторяется. Итерации могут быть продолжены до тех пор, пока коэффициент запаса устойчивости не будет определен с достаточной степенью точности. Описанный процесс может быть запрограммирован для решения задачи с помощью ЭВМ.

Обратим внимание на то, что в изложенной методике оценки устойчивости все внешние силы, в том числе такие, как собственный вес грунта, увеличиваются в одинаковой мере в k раз. Вряд ли такой подход можно считать наилучшим. Существует и другая возможность  принять, что обрушение откоса происходит вследствие роста давления p. Используя равенство , будем иметь

,

(5.82)

где m  число отсеков в пределах полосы давления.

Из этой формулы видно, что возможные положения мгновенного центра вращения ограничены условием

Задача сводится к определению экстремальной поверхности скольжения с наименьшим значением p_u.

При поиске нужно иметь в виду существование так называемых локальных минимумов, отвечающих линиям скольжения, по которым может произойти сползание незначительной части склона, практически не влияя на остальной массив. Далее, считается, что если минимальный из всех найденных коэффициентов устойчивости больше единицы, то склон находится в равновесии, если меньше единицы, то произойдет обрушение. Здесь следует помнить, что точность получаемых результатов в данном методе зависит от того, насколько качественно решены два вопроса  вопрос об очертании линии скольжения (для линий заранее заданной формы) и вопрос о силовом взаимодействии между отсеками.

5.4 Предельное давление грунта на ограждения

5.4.1. Активное давление грунта

Активным называют предельное давление грунта на стенку, образующееся при отодвигании стенки от грунта и обрушении грунта в сторону стенки. Другое определение: активное давление  это максимальное давление грунта на стенку, при котором произойдет обрушение грунта в сторону стенки. Экспериментально полученный график давления грунта в некоторой точке задней грани стенки в процессе ее отодвигания показан на рис. 5.22. Видно, что при перемещении стенки на величину давление грунта падает до минимального значения и далее остается постоянным. Это давление и является активным. Эксперименты показывают, что для образования активного давления достаточно весьма незначительного смещения стенки, измеряемого обычно долями миллиметра. Такое смещение практически всегда имеет место вследствие деформаций грунта в основании стенки и перед ней, а также самой стенки. Поэтому активное давление можно считать постоянно действующим давлением грунта на стенку.

Рисунок 5.22.  Зависимость давления от перемещения стенки

Определим величину активного давления (рис. 5.23). Для общности предположим, что сверху действует нагрузка p. На глубине z главные напряжения равны:

Рисунок 5.23.  К определению активного давления

,

Подставим эти значения в закон КулонаМора, имеем

;

;

.

Тогда выражение для активного давления примет вид:

. (5.83)

Отметим еще, что с помощью равенств

формулу (5.83) можно преобразовать к виду, в котором она часто употребляется:

,

где величину

(5.84)

называют коэффициентом активного давления грунта.

Согласно этой формуле эпюра активного давления линейна (рис. 5.24). При отсутствии или малой величине внешнего давления р и при наличии сцепления в грунте ( ) в верхней части эпюры на глубину

Рисунок 5.24.  Эпюры активного давления

образуется участок отрицательного давления грунта на стенку (см. рис. 5.24). Принято, однако, считать, что удельная сила прилипания грунта к стенке мала и поэтому участок эпюры с растягивающим напряжением реализовываться не может. На участке принимают = 0, в результате чего оказывается, что этот слой грунта не приходит в предельное состояние. В сыпучем грунте (с = Н = 0) эта проблема не возникает — эпюра активного давления всюду положительна ( = 0), имея треугольную форму.

Результирующая активного давления на один метр длины стенки в случае, когда эпюра имеет вид треугольника > 0, определяется площадью треугольника давления:

где — высота стенки; — активное давление на уровне подошвы стенки ( .

Линия действия ее проходит через центр тяжести треугольника давления, т.е. на расстоянии от уровня подошвы стенки.

В случае трапецеидальной формы эпюры давления (рис. 5.24) ее результирующую удобно представить в виде суммы составляющих и соответственно от прямоугольной и треугольной частей эпюры:

,

где ; ; — активное давление на уровне поверхности грунта ( = 0).

Составляющие и действуют на расстоянии и от уровня подошвы.

Покажем, что полученное выражение для активного давления является полностью корректным с точки зрения строгой постановки ТПРГ.

Призма обрушения (рис. 5.25) состоит из областей максимального напряженного состояния ОАВ, переходного состояния ОСВ и минимального напряженного состояния ОСО. Для упрощения решения задачи положим, что задняя грань стенки ОА вертикальная и абсолютно гладкая (силами трения грунта о стенку пренебрегаем). Нормально к поверхности грунта ОО приложено внешнее давление . Так как на ОО давление известно, то напряженное состояние в области ОСО полностью определено формулами (5.20). В том числе на границе ОС согласно (5.21) при = 0 имеем

.

(5.85)

Граница ОС составляет с осью угол . Положим в (5. ) и приравняем его к (5.85):

Рисунок 5.25.  Сетка линий скольжения для активного давления

.

Отсюда произвольная постоянная

Теперь полностью определено напряженное состояние и в области ОВС. Граница ОВ этой области составляет с осью угол . На этой границе согласно (5. ) и (5. )

Приравняв это выражение к правой части (5. ) при = 0

определим предельное давление грунта на стенку

которое и является активным давлением.

Важное практическое значение имеет частный случай, когда поверхность грунта за подпорной стенкой горизонтальна.

При горизонтальной поверхности грунта угол = 0 и области ОАВ и ОСО смыкаются в одну общую область минимального напряженного состояния (рис. 5.24), а область переходного состояния вырождается. Сетка линий скольжения представлена отрезками прямых, наклоненных к оси Oz под углами ± . Компоненты напряжений определяются формулами (5. ), причем напряжение есть не что иное, как активное давление грунта на стенку, в котором учтено влияние собственного веса грунта:

5.4.2. Пассивное давление грунта

Пассивным называют предельное давление грунта на стенку, образующееся при надвигании стенки на грунт. Другое определение: пассивное давление  это минимальное давление грунта на стенку, при котором произойдет выпор грунта от стенки. График изменения давления грунта в некоторой точке грани стенки в процессе надвигания показан на рис. 5.26. Видно, что при перемещении стенки на величину давление грунта возрастает до максимального значения и далее остается постоянным. Это давление и является пассивным. Эксперименты показывают, что для образования пассивного давления необходимо достаточно большое перемещение стенки, измеряемое миллиметрами или даже сантиметрами. Такое смещение не всегда возможно или допустимо. Поэтому в отличие от активного пассивное давление не всегда следует принимать в расчетах в полную величину.

Рисунок 5.26.  График изменения давления грунта в некоторой точке грани стенки

в процессе надвигания

Определим пассивное давление. Как и ранее, эту грань, пренебрегая силами трения, будем считать абсолютно гладкой. Расчетная схема показана на рис. 5.27. На поверхности действует пригрузка q. Главные напряжения определятся как

,

Подставим эти значения в закон КулонаМора, имеем

;

.

Рисунок 5.27.  К определению пассивного давления

Окончательно выражение для активного давления примет вид:

. (5.85)

Отметим еще, что с помощью равенств

формулу (5.85) можно преобразовать к виду, в котором она часто употребляется:

где

(5.86)

есть коэффициент пассивного давления грунта.

Покажем, что полученное решение является строгим решением ТПРГ. На поверхности действует равномерное приведенное давление . В таком случае перед стенкой образуется область максимального напряженного состояния грунта ОАВ (рис. 5.28), которую также называют призмой выпора, поскольку грунт, находящийся в ней, выдавливается надвигающейся стенкой. Сетка линий скольжения состоит из отрезков прямых, наклоненных к оси Ox под углами ± , а напряженное состояние с учетом собственного веса грунта определяется формулами (5.). Пассивное давление можно найти по формуле для :

В случае непригруженного ( 0) сыпучего грунта (с = Н = 0) эпюра пассивного давления имеет треугольную форму, а в остальных случаях трапецеидальную. В первом случае результирующая сила пассивного давления на один метр стенки

действует на расстоянии от уровня ее подошвы.

Рисунок 5.28.  Эпюры и сетка линий скольжения для активного давления

Во втором случае результирующую удобно представить в виде суммы составляющих и соответственно от прямоугольной и треугольной частей эпюры давления:

, ;

где — пассивное давление на уровне поверхности грунта (z  0); — пассивное давление на уровне подошвы стенки ( ).

Составляющие и действуют на расстояниях и от подошвы стенки соответственно.

5.4.3. Определение активного и пассивного давления грунта методом плоских поверхностей скольжения (метод Кульмана)

Активное давление грунта определяется в следующем порядке.

При решении этой задачи графоаналитическим методом назначают ряд возможных положений плоской поверхности скольжения, определяемых значением угла  (рис. 5.29). Если поверхность грунта свободна от давления, то на выделенную призму обрушения действует сила , сила веса призмы , реакция грунта и стенки (рис. 5.30).

Сила согласно закону Кулона отклонена от нормали к поверхности скольжения на угол так, что препятствует сдвигу. С учетом трения грунта о стенку реакция принимается отклоненной от нормали к задней грани стенки на угол . Неизвестные силы и определяются путем построения замкнутого многоугольника сил (рис. 5.30). По результатам вычислений можно построить график зависимости от угла (рис. рис. 5.31). Приведенная величина активного давления соответствует максимуму графика. Действительная нормальная и касательная составляющие будут:

Рисунок 5.29.  К назначению плоских поверхностей скольжения в методе Кульмана

Рисунок 5.30.  Силы, действующие на выделенную область обрушения

Рисунок 5.31.  Зависимость приведенной силы активного давления от угла 

Перейдем к определению пассивного давления грунта на стенку. Ограничимся случаем горизонтальной поверхности грунта, свободной от пригрузки. При решении задачи графоаналитическим методом назначают ряд возможных положений плоской поверхности скольжения, определяемых значением угла (рис. 5.32). На выделенную призму выпора действуют сила , сила веса , реакция отброшенной части грунта и стенки (рис. 5.33).

Рисунок 5.32.  К определению силы пассивного давления методом Кульмана

Рисунок 5.33.  Силы, действующие на выделенную область выпора

Согласно закону Кулона сила отклонена от нормали к поверхности скольжения на угол так, что препятствует сдвигу грунта. С учетом сил трения грунта о стенку реакция принимается отклоненной от нормали к грани стенки на угол . Неизвестные силы и определяются из замкнутого треугольника сил (рис. 5.33).

По результатам вычислений можно построить график зависимости от угла (рис. 5.34). Приведенная величина пассивного давления соответствует минимуму графика. Действительная нормальная и касательная составляющие определяются равенствами

.

Рисунок 5.34.  Зависимость приведенной силы пассивного давления от угла 

В заключение покажем, как эта задача может быть решена аналитически для случая гладкой стенки и сыпучего грунта. Из трех сил, действующих на призму выпора (рис. 5.35), полностью известной является вес . Для определения остальных двух сил необходимо использовать уравнения равновесия. Чтобы сразу исключить ненужную силу R, возьмем проекцию сил на направление АВ, ортогональное к силе R. Нетрудно установить, что направление АВ составляет с вертикалью угол . Тогда будем иметь:

Отсюда

Определим экстремальное значение этой силы. С этой целью возьмем производную от Е по  и приравняем ее нулю

Рисунок 5.35.  К расчету пассивного давления методом Кульмана в случае гладкой стенки

После сокращения на общие множители будем иметь

Отсюда

Это равенство преобразуем к виду

Нетрудно проверить, что решением этого уравнения является угол

Действительно,

,

.

Подставив найденное значение угла , характеризующее положение экстремальной плоскости скольжения, получим формулу для силы пассивного давления грунта на стенку

.

5.4.4. Пример использования активного и пассивного давления для расчета устойчивости подпорной стенки

В качестве иллюстрации использования активного и пассивного давления приведем расчет устойчивости подпорной стенки. При достаточно большом активном давлении грунта может произойти потеря устойчивости стенки либо в форме сдвига, либо в форме опрокидывания относительно ребра A (рис. 5.36).

Проверка устойчивости против сдвига стенки в плоскости подошвы выполняется по условию

(5.87)

где Q_r  сдвигающая сила на один метр длины стенки; m, _n  коэффициенты условий работы (m < 1) и надежности по назначению сооружений (_n > 1); Q_z  суммарная удерживающая сила на один метр длины стенки.

Рисунок 5.36.  К расчету подпорной стенки на устойчивость

В роли сдвигающей силы в данном случае выступает активное давление грунта Q_r = E_a. Суммарная удерживающая сила состоит из силы трения подошвы стенки о грунт Т и силы пассивного давления грунта по передней фани фундаментной плиты E_p:

.

Сила трения подошвы стенки о грунт определяется по-разному в зависимости от шероховатости кладки. При повышенной шероховатости подошвы сдвиг грунта происходит по грунту в плоскости подошвы и, следовательно, сила трения должна определяться по закону Кулона, выраженному в силах

,

где N — вес одного метра длины стенки; b — ширина подошвы.

Проверка устойчивости против опрокидывания стенки выполняется по условию

, (5.88)

где M_u  момент опрокидывающих сил относительно ребра А; M_z  момент удерживающих сил относительно того же ребра.

Опрокидывающий момент образует сила активного давления грунта . Удерживающий момент создают силы собственного веса стенки и пассивного отпора грунта

,

где l, l_p  плечи силы N и силы Е_р относительно точки А.

6. Основы теории фильтрационной консолидации грунтов

6.1. Общие положения теории

Под фильтрационной консолидацией понимается процесс деформирования полностью водонасыщенного тонкозернистого грунта, связанный с отжатием поровой воды. В этом определении к тонкозернистым относятся все пылевато-глинистые грунты, а также пылеватые пески, иначе говоря, все грунты, обладающие достаточно малой водопроницаемостью.

В процессе фильтрационной консолидации грунта приложенное к нему внешнее давление лишь частично воспринимается скелетом грунта (минеральными частицами). Другая часть давления передается на поровую воду. Вследствие этого в поровой воде возникает избыточное (сверхгидростатическое) давление. Такое давление принято называть поровым. Обозначим его символом u. Напряжения, возникающие в скелете грунта в процессе фильтрационной консолидации, называют эффективными. Эффективные напряжения будем отмечать штрихами: . Полные величины напряжений

называют тотальными.

Напомним, что вода не воспринимает касательных напряжений.

Под действием порового давления в грунте возникает процесс фильтрации, т.е. движения поровой воды. Скорость движения воды (скорость фильтрации) подчиняется закону Дарси.

Уплотнение грунта под нагрузкой, как известно, связано с уменьшением его пористости. Уплотнение же полностью водонасыщенного грунта S_r = 1 (грунтовая масса), учитывая несжимаемость частиц скелета грунта и поровой воды, возможно только при отжатии части воды из его пор. Процесс уплотнения водонасыщенного грунта, сопровождающийся отжатием воды из пор, называется фильтрационной консолидацией. Сжимаемость грунтовой массы зависит от ее водопроницаемости. Чем выше водопроницаемость, тем быстрее происходит сжатие грунта.

Давление, приложенное к грунтовой массе, перераспределяется между скелетом грунта и поровой водой. Для наглядной иллюстрации процесса уплотнения грунтовой массы рассмотрим простую механическую модель, в которой реальный грунт заменяется сосудом, заполненным водой и пружиной (рис. 6.1).

Из условия равновесия следует, что для любого момента времени полное нормальное напряжение σ в любой точке водонасыщенного грунта равно сумме эффективного нормального напряжения σ, передающегося на скелет грунта, и нейтрального напряжения (порового давления) в воде u. Если к поршню приложить полное напряжение, то поровое давление со временем убывает, а эффективное увеличивается.

Рисунок 6.1.  Механическая модель для водонасыщенных глинистых грунтов:

1 - пружина, моделирующая схемы грунта; 2 — штамп с отверстиями для

оттока воды; 3 - перовая жидкость; а - для момента t = О (σ = 0; u = σ); б - для произвольного момента (σ > 0, u < σ); в - для момента t = ∞ (σ = σ; u = 0)

6.2. Решение уравнения одномерной теории фильтрационной консолидации грунтов

Рассмотрим решение одномерной задачи фильтрационной консолидации грунта. В одномерной задаче изменение порового и эффективного напряжений происходит только вдоль вертикальной оси . С целью упрощения выводов и результирующих зависимостей принимаются следующие допущения:

1. Вертикальное полное напряжение возникает теоретически мгновенно в момент времени и остается постоянным.

2. Деформация в грунте происходит за счет изменения объема пор в соответствие с законом уплотнения грунта.

3. Фильтрация воды в порах подчиняется закону Дарси, начальный гидравлический градиент принимается равным нулю.

Таким образом, в любой момент времени имеет место следующее соотношение между эффективным напряжением и поровым давлением :

(6.1)

Уравнение одномерной консолидации составляется из условия неразрывности жидкой фазы, т.е. поровой воды. Выделим в консолидирующемся образце грунта бесконечно малый элементарный слой толщиной dz с единичной площадью (объем такого элемента будет равен ) (рис. 6.2). В процессе уплотнения этого слоя происходит фильтрация воды. Условие неразрывности жидкой фазы можно записать в виде:

dV_w = dV_p, (6.2)

где V_w ,V_p – соответственно объем воды и объем пор в объеме грунта .

Обозначим скорость фильтрации на входе в слой через v_z. На выходе из слоя эта скорость будет равна . Следовательно, объем воды, вытекший из слоя за бесконечно малый промежуток времени dt, равен:

Рисунок 6.2.  К выводу уравнения одномерной теории фильтрационной консолидации

Знак минус означает, что при увеличении скорости фильтрации в направлении оси происходит уменьшение объема воды в слое . Учитывая, что скорость фильтрации согласно закону Дарси составляет:

,

запишем выражение для dV_w (6.2) в виде:

(6.3)

За это же время dt в слое dz произойдет уменьшение объема пор на величину dV_p:

где – начальный коэффициент пористости.

Согласно закону уплотнения грунта (3.46) и соотношению (6.1) имеем:

Изменение порового давления в рассматриваемом объеме будет равно:

Тогда выражение для dV_p примет вид:

. (6.4)

Равенство (6.2) с учетом полученных выражений (6.3) и 6.4) приводит к дифференциальному уравнению одномерной задачи фильтрационной консолидации [16]:

(6.5)

Величина называется коэффициентом консолидации и определяется по формуле:

. (6.6)

С помощью этого уравнения получено решение задачи об уплотнении полностью водонасыщенного слоя грунта толщиной под действием постоянного вертикального давления интенсивностью , приложенного в момент времени (рис. 6.3). Верхняя и нижняя границы слоя водопроницаемы.

Рисунок 6.3.  К решению одномерной задачи об уплотнении полностью

водонасыщенного слоя грунта

Граничным условием данной задачи будут равенства при и . Начальным условием: при при .

Решение уравнения (6.5), удовлетворяющее краевым условиям задачи может быть представлено в виде бесконечного сходящегося ряда:

(6.7)

Параметр выражается формулой:

. (6.8)

Эффективные напряжения в скелете, соответственно, определятся уравнением:

Располагая значением эффективных напряжений, находится величина осадки этого слоя для любого момента времени :

На рис. 6.4 приведены графики изменения порового давления, давления в скелете грунта и осадка во времени для грунтовой массы.

Рисунок 6.4.  Графики изменения порового давления, давления в скелете грунта и осадка во времени для грунтовой массы

Полная, стабилизированная осадка образца , соответствующая времени , выражается формулой:

Отношение осадки в момент времени к конечной осадке слоя называется степенью консолидации :