7. Применение численных методов в задачах механики грунтов

7.1. Метод численного интегрирования канонической системы уравнений ТПРГ

В общем случае, как отмечалось выше, задачи ТПРГ решаются численным методом интегрирования системы канонических уравнений (5.16):

, ,

.

Напомним, что   приведенное среднее напряжение,   угол между осью Oz и направлением первого главного напряжения ₁ (рис. 5.4):

, .

Численный метод позволяет в ходе решения задачи строить конечно-разностную сетку линий скольжения и определять параметры предельного напряженного состояния грунта в узлах сетки. Таким образом, при использовании численного метода вместо непрерывного поля предельных напряжений мы получаем точечное поле. Точность решения той или иной задачи численным методом в определенной степени зависит от выбранной густоты сетки линии скольжения. Для «ручного» счета численный метод слишком трудоемок, но с помощью ЭВМ расчет может выполняться с высокой точностью.

Пусть точка M находится на пересечении двух характеристик 1-го и 2-го семейств (рис. 7.1), и в ближайших к точке M узлах 1 и 2 конечно-разностной сетки, принадлежащих соответствующим характеристикам, известны все параметры канонической системы уравнений  соответственно x₁, z₁, ₁, ₁ и x₂, z₂, ₂, ₂ (здесь ₁ и ₂  не главные напряжения (!), а значения среднего приведенного напряжения  в соответствующих точках). Определим величины x, z, ,  в точке M. Следуя известным правилам численного интегрирования, запишем каноническую систему уравнений (5.16), заменив дифференциалы конечными разностями [36]:

, , , .

(7.1)

Кроме дифференциалов искомых функций в выражения (5.16) входят значения функций  и , которые в (5.17) представлены как и . Это означает, что на характеристике 1-го семейства значения и находятся в интервале [, ₁] и [, ₁] соответственно, а и на характеристике 2-го семейства  в интервале [, ₂] и [, ₂]. Для этих величин в процессе вычислений нужно применять осреднения, как показано ниже.

Рисунок 7.1.  К численному интегрированию канонической системы уравнений ТПРГ

Искомые параметры канонической системы в точке M вычисляются с помощью итераций на каждом шаге интегрирования, по следующим рекуррентным формулам, получаемым из (7.1) (номерами дана последовательность расчета):

	1.	, ,
	2.	, , , ,
	3.	, .

На первой итерации принимается

,

на следующих итерациях:

.

Практика вычислений показывает, что, как правило, бывает достаточно трех итераций.

При решении задач ТПРГ сталкиваются с тремя возможными схемами численного решения  тремя краевыми задачами. Схемы интегрирования в пределах краевых задач показаны на рис. 7.2, а, б, в.

Ход решения для первой и второй краевых задач (рис. 5.6, а, б) во многом совпадает: на каждом шаге интегрирования мы имеем значения параметров напряженного состояния в узлах 1 и 2, и по формулам (7.2) определяем эти искомые параметры  x, z, ,   в неизвестной точке M. Отличие состоит в задании граничных условий для этих краевых задач. Для I краевой задачи должна быть задана некоторая линия (граница), не являющаяся характеристикой (!), на которой в каждой точке определены x, z, ,  (рис. 7.2, а). Обратим внимание на то, что каждая из точек может быть и точкой 1, и точкой 2 в зависимости от того, характеристика какого семейства из нее выходит. Для II краевой задачи должны быть заданы две характеристики разных семейств, причем во всех точках каждой из них известны все параметры напряженного состояния (рис. 7.2, б).

Рисунок 7.2.  Краевые задачи и последовательность интегрирования: (а)  первая краевая задача, (б)  вторая краевая задача, (в)  третья краевая задача

Ход построения сетки характеристик несколько отличается в III краевой задаче (рис. 7.2, в). Здесь задана характеристика, в точках которой известны все параметры, и некоторая линия (граница), в точках которой заданы только два из четырех параметров предельного напряженного состояния. Для простоты положим, что, как показано на рис. 7.2, в, линия скольжения 1-го семейства подходит к границе, не являющейся характеристикой, где в каждой точке задано только два из четырех параметров, например, , . Тогда при определении точек, принадлежащих указанной границе, расчет ведется с учетом этих равенств по формулам

	1.	,
	2.	.

Остальные точки в зоне III краевой задаче рассчитываются по формулам (7.2).

Рассмотрим частный случай II краевой задачи, когда какая-либо линия скольжения, например 1-го семейства, стянута в одну точку A (рис. 7.3). Такие точки называют особыми. Специфика численных решений в этом случае (для схемы на рис. 7.3) заключается в том, что в особой точке для указанной линии скольжения . Следовательно в дифференциальном уравнении вдоль этой линии скольжения будем иметь , а связь параметров  и  дается интегрированием этого уравнения:

Рисунок 7.3.  Вторая краевая задача с особой точкой

Каждая характеристика 2 семейства, выходящая из особой точки A определяется своей парой значений и . Величины и отвечают граничной линии второго семейства, параметры которой как правило известны. Далее зона радиального веера раскрывается до пределов, определенных содержанием конкретной задачи. Внутренние точки конечноразностной сетки линий скольжения находятся с помощью общей системы (7.1) по изложенной выше методике.

Обращаясь к зоне радиального веера в задаче Прандтля, отметим, что на граничной линии ( ) имеем следующие значения переменных и :

Далее следует численное решение в зоне радиального веера , причем в особой точке справедливо соотношение:

В данном случае зона радиального веера раскрывается до линии скольжения . Положение этой линии определяется равенством в точке . В численном решении положение этой линии находится подбором.

В задаче о равноустойчивом контуре склона особенность решения заключается в том, что очертание контура заранее неизвестно, оно определится лишь в результате решения.

Определим условия на свободном от нагрузки контуре. Вопервых, среднее приведенное напряжение в любой точке контура определится согласно (5.24):

.

(7.6)

Вовторых, дифференциальное уравнение контура очевидно выражается формулой:

Пусть в некоторой известной точке контура имеем и . Из этой точки выходит линия скольжения второго семейства, на которой из предыдущего решения будет известна некоторая точка 1. Тогда точка пересечения линии скольжения первого семейства с контуром определится системой:

, , ,

(7.9)

Решение системы осуществляется в следующем порядке:

	1.	, ,	(7.10)
	2.	; ,
	3.	.

На первой итерации принимается , на последующих  .

Вычисление точек, принадлежащих области ACO, но не лежащих на контуре AO ведется по формулам (7.2).

7.2. Решение задач теории фильтрационной консолидации методом конечных разностей

Одним из наиболее общих методов интегрирования дифференциального уравнения фильтрационной консолидации грунта (6.22) является метод конечных разностей, основы которого излагаются далее.

В методе конечных разностей в интегрируемом дифференциальном уравнении производные приближенно выражаются через отношения конечных приращений функций и аргумента. Применительно к уравнению (6.22) это означает, что необходимо заменить на конечные разности производные

При определений разностных отношений ограничимся случаем, когда приращение координат x и z одинаковы ( ); приращение по времени обозначим Разностное выражение первой производной по времени представляется очевидным отношением

(7.12)

Разностное выражение для второй производной по координате x в виде

(7.13)