Таким образом, осадка на любой момент времени может определяться по формуле:

Для практических расчетах часто ограничиваются одним членом ряда при вычислении величин и :

; ;

Теоретически, процесс консолидации в данном решении длится бесконечно. В практических расчетов принимается, что время уплотнения слоя водонасыщенного слоя грунта соответствует степени консолидации 0,8.

Рассмотрим два слоя одинакового грунта, но разной мощности, загруженных одинаковым давлением . Обозначим высоту первого слоя h₁, а высоту второго  h₂. Для одного и того же момента времени t степень консолидации для первого образца будет равна , а для второго  . Можно выбрать такие моменты времени t₁ и t₂ для первого и второго образцов, чтобы степени консолидации их были равны, т.е. . Это равенство будет обеспечено, если будут равны параметры и в формуле (6.8), записанной для первого и второго слоя грунта.

Отсюда следует соотношение между временем уплотнения и мощностью слоев грунта:

(6.9)

На основании систематических лабораторных опытов при одномерной консолидации двух различных по толщине пластов одинакового глинистого грунта проф. Н.Н. Маслов установил, что соотношение (6.9) можно записать в виде:

(6.10)

Показатель n, характеризующий консолидационные свойства грунта и находится в пределах 1 ≤ n ≤ 2. При текучепластичной консистенции грунтов значение n близко к двум. Для предварительных расчетов Н.Н. Маслов рекомендует n принимать равным 1,5. Для точных расчетов следует определять n экспериментальным путем, испытывая образцы различной высоты.

Предпосылки фильтрационной теории консолидации грунтов (грунтовой массы) соблюдаются полностью лишь для совершенно неуплотненных водонасыщенных грунтов, для которых влиянием структурной прочности на консолидацию можно пренебречь. К таким грунтам будут относиться супеси, заиленные грунты, илы, заторфованные грунты и торфы, а так же глинистые грунты текучей и текучепластичной консистенции при первой степени их загружения. Если же глинистый слабый грунт будет предварительно уплотнен, то с течением времени в нем сформируются цементационные и водноколлоидные связи, обуславливающие структурную прочность, что не учитывается в изложенном простейшем варианте теории фильтрационной консолидации.

Результаты непосредственных наблюдений за осадками сооружений, возведенных на слабых водонасыщенных грунтах, и сравнение их с расчетными величинами по теории фильтрационной консолидации показывают, что замеренные и прогнозируемые величины осадок близки между собой. Это значит, что имеется довольно большой класс природных грунтов, для которых при расчетах осадок и скорости их протекания во времени с успехом можно пользоваться теорией фильтрационной консолидации.

Однако многие глинистые грунты обладают структурными связями, при этом опыты показывают, что давление, передающееся на воду в первый момент приложения нагрузки составляет только некоторую часть от внешнего давления, и тем оно меньше, чем большей структурностью обладает грунт или чем больше он ранее был уплотнен. В реальных грунтах в поровой жидкости всегда находится некоторое количество пузырьков газов, а также газов, растворенных в воде. Эти газы резко повышают сжимаемость поровой воды, а в этой связи в момент приложения внешней нагрузки поровое давление будет меньше. При мгновенном приложении внешняя нагрузка будет распределяться на поровую воду и на скелет грунта. Величина порового давления при этом будет равна:

, (6.11)

где ₀  1 – коэффициент начального порового давления.

Для этого случая уравнение одномерной консолидации имеет вид:

(6.12)

Далее, общая деформация грунтов под нагрузкой складывается из мгновенных и длительных деформаций. В грунтах, обладающих структурой, уплотнение происходит одновременно за счет мгновенных деформаций, фильтрации и ползучести скелета грунта. Мгновенная деформация обусловлена упругой деформацией в момент приложения внешней нагрузки, фильтрация  водопроницаемостью глинистых грунтов, а ползучесть – структурными деформациями, протекающими во времени. При определении деформации грунтов указанные деформации обычно рассматриваются раздельно. В связи с этим общая осадка слоя водонасыщенного грунта во времени запишется:

(6.13)

где  мгновенная деформация грунта при приложении внешней нагрузки;  осадка за счет фильтрационной консолидации;  осадка за счет ползучести скелета грунта.

Деформация, соответствующая времени t = 0, отражает связь между напряжениями и мгновенными деформациями. Мгновенная деформация характеризуется мгновенным модулем деформации. Мгновенный модуль деформации является показателем деформационных свойств грунтов при t = 0, то есть в момент приложения нагрузки, когда фильтрация и ползучесть не успели проявиться.

Наиболее подробные исследования мгновенных деформаций в компрессионном приборе были выполнены проф. С. Р. Месчяном [23]. Достаточно точное взятие отсчетов по индикаторам визуальным способом в первые моменты после приложения нагрузки было затруднено из-за довольно быстрого протекания процесса деформирования грунта. Поэтому визуально установить непосредственно мгновенный модуль деформации не представлялось возможным. По опытным данным через 5 сек. после приложения нагрузок визуально фиксировались условно-мгновенные деформации. Что касается ошибки, вызванной определением условно-мгновенного модуля деформации вместо мгновенного, то она, по данным автора, достигает 20% и более. С целью совершенствования методики определения мгновенного модуля деформации грунтов в компрессионном приборе были использованы полупроводниковые датчики перемещения. Исследования показали, что условно-мгновенный модуль деформации нельзя определить ранее, чем через 1…2 сек, в зависимости от инерции прибора и динамического эффекта.

За время фильтрационной консолидации протекают и деформации ползучести. По окончании фильтрационного уплотнения, деформация глинистого грунта продолжается за счет ползучести скелета, иногда весьма длительное время.

6.3. Уравнение двухмерной задачи теории фильтрационной консолидации

Скорость движения воды (скорость фильтрации) подчиняется закону Дарси. В случае плоской фильтрации (v_y= 0) этот закон имеет вид:

, (6.14)

где v_x, v_z — компоненты скорости в плоскости фильтрации в направлении осей х и z соответственно; — коэффициент фильтрации; — удельный вес воды.

В излагаемом варианте теории фильтрационной консолидации считается, что поровая вода и минеральные частицы абсолютно несжимаемы. Следовательно, объемная деформация грунта может происходить только за счет изменения объема пор, которое, в свою очередь, может произойти только за счет вытеснения равного объема поровой воды. Отжатие поровой воды из тонкозернистых грунтов требует длительного времени.

Из принятых допущений также следует, что в момент приложения давления (t = 0) среднее тотальное напряжение полностью воспринимается поровой водой

(6.15)

а среднее эффективное напряжение в этот момент равно нулю:

Только по мере отжатия воды среднее тотальное напряжение постепенно передается на скелет грунта, а поровое давление падает до нуля. Вследствие этого по окончании процесса консолидации напряженное состояние становится эффективным: .

Деформации в процессе консолидации происходят под действием эффективных напряжений. Поэтому для условий плоской деформации закон Гука должен быть записан в следующем виде:

, ,

(6.16)

В тотальных напряжениях этот закон будет

, ,

(6.17)

где:

(6.18)

Учитывая, что в условиях плоской деформации ε_y = 0, определим объемную деформацию ε_v. Согласно закону Гука

(6.19)

Между σ и σ_m в условиях плоской деформации имеет место равенство

(6.20)

Для простоты и краткости дальнейшего изложения ограничимся случаями, когда внешняя нагрузка прикладывается к основанию в некоторый момент времени t = 0 и далее остается постоянной. Тогда тотальные напряжения в точках основания проявляются в полную величину в момент приложения нагрузки, а далее также остаются постоянными. Меняются во времени поровое давление и эффективные напряжения.

В соответствии с (6.15) и (6.20) в начальный момент распределение порового давления в основании выражается равенством:

(6.21)

где величина σ определяется решением соответствующей задачи из гл. 3.

Отметим, что согласно (6.21) и при ν < 0.5 даже в момент приложения нагрузки u < .

Выделим в консолидирующемся грунте бесконечно малый элемент с размерами поперечного сечения dx, dz и длиной, равной 1 (рис. 6.5).

Рисунок 6.5.  Схема к выводу уравнения двухмерной теории фильтрационной консолидации

В процессе фильтрационной консолидации происходит фильтрация воды через элемент. Обозначим скорости фильтрации на входных гранях элемента через v_x, v_z. На выходе из элемента эти скорости получат приращения и будут равны:

Следовательно, объем воды, вытекшей из элемента за бесконечно малый промежуток времени dt, равен:

По условию неразрывности поровой воды изменение ее объема в элементе должно быть компенсировано соответствующим изменением объема элемента, которое выражается через относительную объемную деформацию Если изменение объема протекает во времени, то приращение объема элемента (или изменение объема пор ) за бесконечно малый промежуток времени dt определяется выражением

Знак минус здесь приписан по той причине, что деформация расширения считается отрицательной.

Приравнивая к , после сокращения на общий множитель dxdzdt получим

Левую часть этого равенства преобразуем к поровому давлению с помощью закона Дарси, а правую  с помощью выражения (6.19), учитывая принятое условие σ = const: