Аналогично

(7.14)

Подставив выражения (7.12)...(7.13) в уравнение консолидации (6.22), получим его искомую разностную формулу:

(7.14)

Это уравнение показывает, что в точке х, z можно вычислить поровое давление в следующий момент времени , если в момент t оно известно в этой точке и в четырех соседних, расположенных от нее на расстоянии к влево, вправо, вверх и вниз (рис. 7.4).

Рисунок 7.4.  Расположение узловых точек в расчетах фильтрационной консолидации методом конечных разностей

Предположим далее, что нам необходимо численным методом решить некоторую консолидационную задачу, например, консолидационную задачу для основания, нагруженного в момент времени t = 0 равномерным полосовым давлением, остающимся в дальнейшем постоянным. Для ее решения выделим в основании область задачи и введем в ней прямоугольную координатную сетку с шагом размером к в горизонтальном и вертикальном направлениях (см. рис. 7.5). Задача заключается в том, чтобы с помощью уравнения (7.14) определить поровое давление во всех узловых точках сетки в дискретные моменты времени t = τ, 2τ, ... вплоть до некоторого конечного времени t_кон = nτ. При этом начальное распределение порового давления в узлах сетки в рассматриваемом примере определяется зависимостью (6.26) при t = 0 и

z > 0:

В узлах, расположенных на свободной поверхности основания, при t > 0 поровое давление принимается равным нулю в течение всего процесса консолидации грунта. На водонепроницаемом участке поверхности основания под подошвой фундамента вводятся фиктивные узлы, в которых поровое давление принимается равным давлению в симметрично расположенных внутренних узлах. Указанный прием позволяет выполнить условие v_z = 0 на этом участке контура.

Вдоль внутренних границ области решения также вводятся дополнительные узлы (см. рис. 7.5), в каждом из которых поровое давление для любого момента времени определяется посредством линейной экстраполяции, исходя из значений его в двух ближайших узлах.

Рисунок 7.5.  Разбивка основания расчетной сеткой в методе конечных разностей

Очевидно, решение будет тем точнее, чем гуще принятая сетка и меньше шаг τ. Однако уменьшение их приводит к повышению трудоемкости решения задачи. Кроме того, в математике доказано, что при численном интегрировании уравнений типа (6.22) необходимо выполнять условие

Ясно, что в этом условии выгодно принимать знак строгого равенства. Это дает возможность выбрать максимально допустимый шаг по времени t при назначенном шаге k, что снижает трудоемкость решения задачи. Трудоемкость решения уменьшается и за счет того, что при этом уравнение (7.14) упрощается, принимая вид:

7.3. Основы техники вычислений методом конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время является одним из наиболее популярных численных методов. Основное достоинство МКЭ  его универсальность.

Разобьем некоторую рассчитываемую область основания на треугольные конечные элементы. Рассмотрим простейший треугольный конечный элемент (рис. 7.6) [33].

Рисунок 7.6.  Разбивка основания расчетной сеткой в методе конечных элементов

Вершины треугольника обозначим i, j, m. Пусть перемещения произвольной точки в этом треугольнике есть линейные функции ее координат (напомним, что u и w  перемещения вдоль осей Ox и Oz):

; .

(7.15)

где  некоторые постоянные в пределах данного элемента коэффициенты.

Тогда перемещения узлов элемента определятся как

(7.16)

Выразим из (7.16) коэффициенты через перемещения узлов:

(7.17)

где:

; ; ; ; ; .

(7.18)

, площадь треугольника равна .

Далее, выразим перемещения в элементе (7.15) через перемещения его узлов, учитывая (7.15)…(7.18):

;

.

где:

Согласно (4.17) определим относительные деформации:

;

;

,

или, в матричной форме

,

(7.19)

где

, , .

Уравнение состояния для отдельного конечного элемента можно записать в виде:

.

(7.20)

В полученном уравнении матрица [D] характеризует механические свойства элемента, а матрица [B]  его геометрию. В качестве матрицы [D], например, в случае линейно-деформируемой среды может быть принята упругая матрица [D_e], определяемая с помощью (3.1). Для решения упругопластических задач используется уравнение (7.20) в приращениях.

Работа конечных элементов описывается с использованием равенства работ внутренних и внешних сил. Работу внутренних сил в элементе определим как

.

Так как в пределах элемента принято и , имеем

В соответствии с правилами транспонирования матриц, и учитывая (7.19),

,

откуда

.

(7.21)

Заметим, что в выражении (7.21) значение S площади треугольника должно быть положительным.

Внешнее воздействие на элемент представим в виде сосредоточенных сил, приложенных в узлах i, j и m по направлениям соответствующих узловых перемещений {_e} (рис. 7.7):

.

Тогда работа внешних сил равна

.

(7.22)

Рисунок 7.7.  Простейший конечный элемент

Сравнивая (7.21) и (7.22), и учитывая (7.20), имеем

,

,

и окончательно

,

(7.23)

где  матрица жесткости элемента.

Переходим от рассмотрения отдельного конечного элемента ко всей рассчитываемой области (рис. 7.6). Введем общую нумерацию для всех узлов 1, 2, …, n и составим общую матрицу жесткости [K], общую матрицу узловых перемещений { } и общую матрицу узловых сил {R}:

,

(7.23)

где ; ;

Итак, общая матрица перемещений {} состоит из перемещений всех узлов, расположенных в порядке общей нумерации узлов конечноэлементной сетки. За исключением граничных данных о перемещениях отдельных узлов сетки, эта матрица представляет собой матрицу искомых неизвестных перемещений. Общая матрица узловых сил {R} также включает в себя компоненты этих сил в соответствии с общей нумерацией узлов. Эти величины задаются исходя из граничных условий или в соответствии с массовыми силами, действующими в расчетной области. Если массовые силы отсутствуют, то исходя из условия равновесия всех конечных элементов, их силовое воздействие взаимоуравновешивается и компоненты узловых сил имеют нулевые значения. При наличии массовых сил узловая сила составляет произведение массовой силы на площадь, приходящуюся на этот узел.

Элементы общей (или глобальной) матрицы жесткости выражают собой реакцию по направлению некоторой силы от единичного перемещения в некотором направлении и представляют собой алгебраическую сумму элементов локальных матриц жесткости, в которых присутствуют данные направления узловых сил и перемещений.

В результате решения данной системы получаем перемещения каждого узла конечноэлементной сетки. Затем по формулам (7.19) и (7.20) полностью определяется напряженно-деформированное состояние основания.

При решении системы (7.27) нужно учитывать следующее. Первое. При задании граничных условий следует помнить, что рассчитываемая область не должна смещаться как жесткое тело. Следовательно, необходимо обеспечить соответствующее закрепление расчетной области. Второе. Чтобы использовать уравнения МКЭ в виде (7.27) граничные данные по перемещениям узлов задают следующим образом. Диагональный элемент общей матрицы жесткости в строке заданного перемещения принимается достаточно большим числом, а элемент в общей матрице узловых сил, соответствующий данному перемещению принимается как произведение этого большого числа на величину заданного перемещения. Граничные значения нагрузок задаются в виде узловых сил, к которым силовые воздействия приближенно приводятся.

В заключение еще раз обратим внимание на то, что в рамках МКЭ непосредственно можно учесть произвольную конфигурацию расчетной области и неоднородность грунтового массива, можно учесть практически все специфические свойства грунтов, а также любые силовые воздействия. Кроме того, в рамках МКЭ можно учесть временное развитие деформаций, как в отношении ползучести грунтов, так и вследствие развития процессов консолидации водонасыщенных пород.

Литература

1. Баркан Д.Д. Динамика оснований и фундаментов. М., 1948.

2. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.

3. Березанцев В.Г. Расчет оснований сооружений. Л.: Стройиздат, 1970.

4. Бугров А.К., Нарбут Р.М., Сипидин В.П. Исследования грунтов в условиях трехосного сжатия. Л., 1987.

5. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов. М., 1862.

6. Герсеванов Н.М. Основы динамики грунтовых масс

7. Гольдин А.Л., Рассказов Л.Н. Проектирование грунтовых плотин, М.: Энергоатомиздат, 1987. 304 с.

8. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. М., 1973.

9. Гольдштейн М.Н., Царьков А.А., Черкасов И.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. М.: Транспорт, 1981.

10. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А. Расчет конструкций на упругом основании. М., 1973.

11. ГОСТ 2510095. Грунты. Классификация.

12. ГОСТ 1224896. Грунты. Методы лабораторного определения характеристик прочности и деформируемости

13. ГОСТ 518084 Грунты. Методы лабораторного определения физических характеристик

14. Далматов Б.И. Механика грунтов, основания и фундаменты. М., 1981.

15. Далматов Б.И., Бронин В.Н., Карлов, Мангушев Р.А., Сахаров А.А., Сотников С.Н., Улицкий В.М., ФадеевА.Б. Основания и фундаменты

16. Зарецкий Ю.И. Теория консолидации грунтов. М, 1967.

17. Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. М, 1985.

18. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности

19. Кандауров И.И. Механика зернистых сред и ее применение в строительстве

20. Костэ Ж., Санглера Г. Механика грунтов . М.: Стройиздат, 1981. 456с.

21. Малышев М.В. Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений. М., 1994.

22. Маслов Н.Н. Основы инженерной геологии и механики грунтов. М., 1985.

23. Месчан. Ползучесть глинистых грунтов

24. Ржаницын

25. СНиП 2.02.01-83. Основания зданий и сооружений. М., 1985.

26. СНиП 2.02.0488. Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах

27. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М., 1960.

28. Соловьев Г.П.

29. Соловьев Ю И. Плоские задачи механики грунтов. Новосибирск, 1993.

30. Тер-Мартиросян З.Г., Ахпателов.

31. Терцаги К. Теория механики грунтов. М., 1961.

32. Ухов С.Б., Семенов В.В., Знаменский В.В., Тер-Мартиросян З.Г., Чернышев С.Н. Механика грунтов, основания и фундаменты

33. Фадеев А.Б. МКЭ в геотехнике

34. Федоровский В.Г. Обзор моделей

35. Флорин В.А. Основы механики грунтов (Т. 1 и 2). М., 1959-1961.

36. Харр М.Е. Основы теоретической механики грунтов. М., 1971.

37. Цытович Н.А. Механика грунтов. М., 1963.

38. Цытович Н.А. Механика грунтов. М., 1979.

39. Цытович Н.А. Тер-Мартиросян З.Г.

40. Чаповский Е.Г. Лабораторные работы по грунтоведению и механике грунтов. М., 1975.

41. Швец В.Б., Гинзбург Л.К., Гольдштейн В.М., Капустин В.К., Феклин В.И., Швец Н.С. Справочник по механике и динамике грунтов. Киев: Будiвельник, 1987.

226