(Выделен жирной чертой)

Высотой d нечеткого множества А называется максимальное значение функции принадлежности этого множества .

Если d = 1, то нечеткое множество называется нормальным.

Ниже будут рассматриваться только нормальные нечеткие множества, так как если нечеткое множество не нормально, то его всегда можно превратить в нормальное, разделив все значения функции принадлежности на ее максимальное значение.

Пусть – другое универсальное множество. Нечетким отношением R на множестве называется совокупность пар

, (1.6)

где : – функция принадлежности нечеткого отношения R, имеющая тот же смысл, что и функция принадлежности нечеткого множества. Приведенное определение легко обобщается на n-мерный случай.

Сравнивая выражения (1.3) и (1.6), можно видеть, что нечеткое отношение – это нечеткое множество с векторной базовой переменной. Примерами нечетких отношений могут служить такие, как «X примерно равен У», «X значительно больше У», «А существенно предпочтительнее, чем В».

Нечеткая и лингвистическая переменные

Нечеткая переменная определяется кортежем , где X — наименование нечеткой переменной; — область ее определения, или универсальное множество; — нечеткое множество на U, описывающее ограничение на возможные числовые значения нечеткой переменной X.

Лингвистическая переменная определяется кортежем

, (1.7)

где β – наименование лингвистической переменной; Т – множество ее значений, или термов, представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество U.

Например, для лингвистической переменной, представленной на рис. 1.3, , , . Пару точек будем называть граничной парой. В дальнейшем без особой необходимости не будем различать переменную и ее наименование.

Множество Т называют базовым терм-множеством лингвистической переменной; G — синтаксическая процедура, описывающая процесс образования из множества Т новых, осмысленных для данной задачи ПР значений лингвистической переменной.

Множество называют расширенным терм-множеством лингвистической переменной; М — семантическая процедура, позволяющая приписать каждому новому значению, образуемому процедурой G, некоторую семантику путем формирования соответствующего нечеткого множества, т. е. отобразить новое значение в нечеткую переменную.

Рассмотрим пример лингвистической переменной. Пусть ЛПР оценивает посадочную скорость летательных аппаратов с помощью понятий «малая», «небольшая», «средняя», «высокая». При этом максимальная посадочная скорость равна 300 км/ч. Формализация такого описания может быть проведена с помощью лингвистической переменной

<СКОРОСТЬ, {МАЛАЯ, НЕБОЛЬШАЯ, СРЕДНЯЯ, ВЫСОКАЯ}, [0, 300], G, М>, где G — процедура перебора элементов базового терм-множества, М — процедура экспертного опроса

В общем случае взаимосвязь лингвистической и нечеткой переменных графически может быть представлена как показано на рисунке 2. Здесь Т={Т₁, Т₂, Т₃, Т₄}, u₀< u₂ < u₁ < u₄ < u₃ < u₆ < u₅ <u₇, U = [u₀, u₇]. Пара точек (u₀, u₁) называется граничной парой.

Рисунок 2. – Взаимосвязь лингвистической и нечеткой переменных