Построение функции принадлежности с использованием метода экспертной оценки
С помощью функции принадлежности можно отразить мнение одного или нескольких экспертов. Это связано с неспособность человека формулировать свое количественное впечатление в виде однозначного числа. Предположим, что имеется m экспертов, часть из которых на вопрос о принадлежности элемента хХ нечеткому множеству А отвечает положительно. Обозначим их число n1. Другая часть экспертов n2 = m – n1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимаем, что функция принадлежности может быть описана выражением
. (10)
Пример. Пусть имеется множество Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} и требуется построить нечеткое множество А формализующее нечеткое понятие "намного больше двух". Решение задачи может выглядеть так. Допустим, что результаты опроса шести экспертов дали такие результаты (таблица 1). Причем если на вопрос о принадлежности элемента хХ нечеткому множеству А эксперт отвечает положительно, то в таблицу заносим знак "+", если отрицательно, то знак " – ". Обозначим число положительных знаков как n1, а число отрицательных знаков как n2 = m – n1.
Таблица 1 – Результат опроса экспертов
Эксперты |
Х |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
2 |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
3 |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
+ |
4 |
– |
– |
– |
– |
– |
+ |
5 |
– |
– |
– |
– |
+ |
+ |
6 |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
n1= |
0 |
0 |
1 |
4 |
5 |
6 |
n2= |
6 |
6 |
5 |
2 |
1 |
0 |
Используя формулу (1), определяем функцию принадлежности:
; 
; 
;
; 
; 
.
Тогда формальная запись нечеткого множества А будет такой:
Рисунок 8 – Функция принадлежности для примера
Методика построения функции принадлежности
(с использованием метода деления ФП пополам)
Методику построения функции принадлежности (ФП) рассмотрим на модельном примере: "Определить семантику и термы лингвистической переменной "Вероятность". Методика решения задачи предусматривает выполнение этапов:
1 Этап. Определение термов лингвистической переменной (лп).
В нашем случае это могут быть, например, "Вероятность большая"; "Вероятность средняя"; "Вероятность малая".
2 Этап. Ранжирование термов.
В данном случае можно выполнить ранжирование типа "по возрастанию". Таким образом, результатом выполнения этапа будет последовательность:
1 – "Вероятность малая"; 2 – "Вероятность средняя"; 3 –"Вероятность большая".
3 этап. Определение интервалов термов (то есть назначение левой и правой границ интервала). В каждом конкретном случае эти границы будут различны. В нашем примере лингвистическая переменная "Вероятность" имеет крайнюю левую границу 0, а крайнюю правую – 1 (по своей сути вероятность меняется от 0 до 1, т.е. вероятность невозможного события равна 0, а вероятность достоверного события равна 1). Промежуточные значения выбираются на основе субъективного суждения. Предположим, что граничные пары значений термов установлены такими, как представлены в таблице 2.
Таблица 2 – Левая и правая границы интервалов термов
Номер и наименование терма |
Левая граница |
Правая граница |
1 "Вероятность малая" |
0 |
0,4 |
2 "Вероятность средняя" |
0,2 |
0,8 |
3 "Вероятность большая" |
0,6 |
1,0 |
4 этап. Графическое изображение установленных границ интервалов термов (рисунок 9).
Рисунок 9 – Границы интервалов
5 этап. Корректировка границ интервалов термов (необязательный этап).
6 этап. Выбор метода построения ФП. В данном примере используем метод деления значений ФП пополам.
7 этап. Определение семантики терма лингвистической переменной.
7.1 Рассмотрим 1 терм: "Вероятность малая". Для него определим значения ФП в граничных точках интервала. В граничной точке 0,0 ФП равна 1, так как если вероятность равна нулю, то она естественно малая и ФП принимает максимальное значение. В граничной точке 0,4 ФП равна 0, так как ранее на основе субъективного суждения мы приняли, что при Р>0,4 вероятность не может быть малой.
Граничные значения интервала |
0,0 |
0,4 |
Значения ФП |
1 |
0 |
Графическая иллюстрация решения задачи показана на рисунке 10 а.
а) б)
Рисунок 10 – Значения ФП в граничных точках
Нахождение значений ФП в данном интервале.
Для этого можно использовать 3, 5, 7, 9 кратное разбиение интервала (следует помнить, что чем больше кратность разбиения, тем выше точность построения ФП).
Для простоты воспользуемся 3-х кратным разбиением. Методика разбиения состоит в следующем:
назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,5) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,0 и 0,4.
Графическая иллюстрация постановки задачи приведена на рисунке 2 б.
Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,35 (рисунок 3).
назначьте значение аргумента, для которого значение ФП (0,25) лежит посередине между значениями ФП для точек 0,35 и 0,4.
Предположим, что это будет значение аргумента равное 0,38 (рисунок 11).
Рисунок 11 – Значения аргумента, Рисунок 12 – Значения аргумента,