2.1.4. Теоретическое введение

Для анализа статистических характеристик некоторой генеральной совокупности, мы пользуемся, как правило, информацией о выборке. Когда врач хочет получить представ­ление о составе и состоянии крови пациента, он проводит анализ небольшой выборки крови. Любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Работники здравоохранения пос­тоянно имеют дело с информацией, базирующейся на ограниченных выборках. Поэтому они должны хорошо представлять себе границы надежности анализа информации на основе выборочных данных.

В биологической и медицинской статистике часто приходится иссле­довать распределение того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуумов, образующих статистический коллектив (таким признаком может быть, например, содержание белка в зерне пшеницы, вес новорожденного ребенка, период колебаний маятника и т.д.). Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индивидууму меняется. Однако, для того чтобы соста­вить представление о распределении этой случайной величины или о ее важнейших характеристиках, нет необходимости обследовать каждый объект данной обширной (генеральной) совокупности, а можно обследо­вать некоторую выборку достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выявлены существенные черты изучаемого распределения.

Статистическая совокупность представляет собой множество объ­ектов, однородных относительно признака, характеризующего эти объекты.

Генеральной совокупностью называется совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть охарактеризованы некоторой величиной X. Теоретически это бесконечно большая или приближа­ющаяся к бесконечности совокупность. Число объектов генеральной совокупности называют ее объемом и обозначают N.

Выборочной совокупностью или выборкой называется множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Число объектов выборки называют ее объемом и обозначают n .

Для того чтобы свойства выборки достаточно хорошо отражали свойства генеральной совокупности, выборка должна быть осущест­влена случайно, то есть все объекты должны иметь одинаковую веро­ятность попасть в выборку.

Поскольку на практике приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных, то результаты наблюдений и их обработки содержат больший или меньший элемент случайности.

Характеристики статистического распределения выборки приме­няются для оценки неизвестных параметров теоретического распре­деления вероятностей.

Различают точечные оценки случайной величины (одним числом) и интервальные (оценивание параметра совокупности в виде интервала).

Введем некоторые понятия.

, (1)

Генеральная средняя равна математическому ожиданию случай­ной величины:

(2)

Выборочная средняя _в — среднее арифметическое значение при­знака выборочной совокупности X₁ X₂, ..., Х_{n .}

Генеральная средняя _г — среднее арифметическое значение при­знака X₁, Х₂, ..., Х_n генеральной совокупности.

_{Выборочная средняя Хв — среднее арифметическое значение при­знака выборочной совокупности X1 X2, ..., Хn, то есть}

_{Генеральная средняя Хг — среднее арифметическое значение при­знака X1, Х2, ..., Хn генеральной совокупности, т.е. Генеральная дисперсия:}

₍₃₎

_{Выборочная дисперсия:}

₍₄₎

_{Точечные оценки. За оценку неизвестного значения μ измеряемой величины принимается выборочная средняя:}

₍₅₎

_{За оценку генеральной дисперсии D принимается (при малом обьеме выборки n<30 n берется как число степеней свободы (n-1)) значение исправленной выбо­рочной дисперсии σ}²_в:

₍₆₎

_{Интервальная оценка математического ожидания (доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, распре­деленной по нормальному закону, при неизвестном σ).}

_{Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение, причем неизвестны μ и σ.}

_{В ряде задач требуется не только найти для параметра μ подходя­щее численное значение, но и оценить его точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра μ его точечной оценкой Хв, и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы.}

_{Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюде­ний, когда точечная оценка в значительной мере случайна и прибли­женная замена может привести к серьезным ошибкам.}

_{Чтобы дать представление о точности и надежности в математичес­кой статистике пользуются так называемыми доверительным интер­валом и доверительной вероятностью.}

_{Разные выборки дадут разные оценки. Пусть для параметра μ получена из некоторого опыта точечная оценка Хв. При этом, заменяя μ на Хв, мы совершаем некоторую ошибку.}

В теории математической статистики показывается, что с заданной вероятностью γ неизвестное значение μ случайной величины попада­ет в определенный интервал:

или

Вероятность γ принято называть доверительной вероятностью. С такой вероятностью мы «доверяем» результату. Величина γ выбирается самим исследователем самостоятельно, например, γ = 0,95; 0,99 и т.п.

Иногда говорят, что с заданной вероятностью, а доверительный интервал накрывает точку μ.

Величина Х — полуширина доверительного интервала. Точки Х_в+ Х и Х_в — Х — границы доверительного интервала.

Величины Х_в и Х вычисляются на основе экспериментальных данных.

Допустим, случайная величина подчиняется нормальному зако­ну распределения.

В эксперименте получены ее значения: X_1, X₂, ... Х_n.

Если объем выборки невелик, (n < 30), то полуширина доверитель­ного интервала для оценки неизвестного математического ожидания в этом случае вычисляется по формуле:

(7)

где t_{γ n} — коэффициент Стьюдента, значение которого зависит от доверительной вероятности γ и от объема выборки n. Его значения приведены в специальной таблице (приложение).

Тогда доверительный интервал для μ можно представить как:

(8)

Таким образом, математическое ожидание μ находится в довери­тельном интервале:

с заданной доверительной вероятностью γ.

⁽⁹⁾

Чем выше мы задаем вероятность γ, тем шире становится довери­тельный интервал. И, наоборот, чем меньше γ, тем уже интервал.

При увеличении объема выборки ширина интервала уменьша­ется.