1.10. Закон нормального распределения

Предположим, что в одних и тех же условиях проведена серия (выборка) большого числа измерений некоторой физической величины, истинное значение которой х₀. В результате эксперимента получен набор значений каждое из которых отличается в большую или меньшую сторону от истинного значения х₀ измеряемой физической величины.

Считаем, что случайные погрешности измерений в данном случае подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса), который описывается функцией Гаусса:

. (3)

В показателе экспоненты находится величина , являющаяся погрешностью отдельного измерения. Поэтому функция (3) представляет фактически функцию плотности распределения вероятности случайных погрешностей измеряемой величины. В формуле (3)

– (4)

< X > = - среднее арифметическое измеряемой величины,

– (5)

среднее квадратичное отклонение серии измерений ( ) называется дисперсией случайной величины, n – число измерений в данной серии опытов.

Кривая нормального распределения симметрична, положение ее максимума для данной серии измерений соответствует , а расстояние между точками перегиба равно (рис.1).

 характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерений. Чем уже Гауссова кривая, тем точнее проведен эксперимент ( ). В теории погрешностей доказывается, что среднее арифметическое наилучшим образом отражает истинное значение искомой величины . Тогда можно принять = . При этом погрешность каждого измерения из серии по аналогии с формулой (1) будет равна

(6)

Среднее значение многих выборок также подчиняется нормальному закону распределения с дисперсией D= ²/n. При этом среднее квадратичное отклонение среднего результата серии измерений определяется по формуле:

Где S_<x> => СКО или (7)

1.11. Случайная погрешность. Надежность и доверительный интервал

Вероятность того, что истинное значение x₀ измеряемой величины находится в интервале , называется надежностью или доверительной вероятностью. Здесь x_c - случайная погрешность серии измерений (рис.1). Надежность определяется так:

(8)

т.е. равна площади заштрихованной криволинейной трапеции (рис.1.).

Площадь под всей кривой нормального распределения равна единице, т.е. надежность или вероятность того, что истинное значение Х₀ лежит в интервале от 0 до равна единице, (γ=1). Это достоверное событие.

Интервал называется доверительным. Чем больше он, тем выше надежность, тем больше вероятность того, что истинное значение Х₀ попадает в этот интервал. Следовательно, случайная погрешность и надежность взаимно связаны между собой.

В математической статистике доказывается, что при нормальном распределении, если надежность γ = 0,683, то истинное значение измеряемой величины находится в доверительном интервале . Если же γ = 0,954, то в доверительном интервале , а если γ = 0,994, то в интервале . Таким образом, в первом случае случайная погрешность x_c = , во втором - x_c = 2, а в третьем - x_c = 3.