1.3. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L₁, L₂ и L₃. Выберем на каждой из прямых ориентацию и единый масштаб. Прямые превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О

( рис.8).

Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10

Назовем одну из этих осей осью абсцисс ( осью Ох ), вторую – осью ординат ( осью Оу ) и третью – осью аппликат ( осью Оz ) ( рис. 9 ). Точка О называется началом координат.

Пусть М – произвольная точка ( рис. 10 ). Проведем через точку М плоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную тройку чисел ( х, у, z ) по следующему правилу: х – координата точки М_х на оси Ох,

у – координата точки М_у на оси Оу, z – координата точки М_z на оси Оz.

Числа х, y и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М ; при этом х называется ее абсциссой , у – ординатой, а z – аппликатой. Обозначение: М ( х, у, z ).

Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат Охуz.

Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.

Координатных плоскостей три: Охy, Оуz и Оxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей - октантов.

4. Простейшие задачи аналитической геометрии а. Расстояние между множествами

Пусть М₁(х₁) и М₂(x₂) – две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

d = d ( М1, М2 ) =  x2 – x1.

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М₁ (х₁, у₁ ) и М₂ (х₂, у₂ ) вычисляется по следующей формуле

 Рассмотрим прямоугольный треугольник М М₁М₂ (рис. 11). По теореме Пифагора

М₁М₂² =М₁М² +ММ₂².

Так как расстояние d между точками М₁ и М₂ равно длине отрезка М₁М₂, а М₁М = x₂ – x₁, ММ₂= у₂ – у₁, отсюда

d ² =x₂ – x₁² + у₂ – у₁². ()

Замечая, что  x₂ – x₁² = (x₂ – x₁)² и  у₂ – у₁² = (у₂ – у₁)², и извлекая из обеих частей равенства () квадратный корень, приходим к требуемой формуле. 

Рис. 11 Рис.12 Рис.13.

Замечание. Расстояние между точками М₁ (х₁, у₁, z₁ ) и М₂ (х₂, у₂, z₂ ) в пространстве вычисляется по следующей формуле

Пример 1. Написать уравнение окружности радиуса r с центром в точке P ( a , b ) .

 Пусть М (х, у) – точка окружности (рис. 12 ). Это означает, что МР= r. Заменим МР его выражением

Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке P ( a , b ). 

Пример 2. Пусть F_л ( -c, 0 ) и F_п ( c, 0 ) – фиксированные точки плоскости, а – заданное число ( a > c  0 ). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до F_л и до F_п равна 2а.