3. Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве ПДСК Oxyz. Обозначим через i, j, k орты положительных направлений осей Ox, Oy, Oz (рис.19). Рассмотрим произвольный вектор а, начало которого лежит в т.О, а конец – в т. А. Проведем через т. А плоскости, перпендикулярные осям Ox, Oy, Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках P, Q, R соответственно. Из рис. 17 видно, что a = + + . (1)

Векторы , , коллинеарны соответственно ортам i, j, k, поэтому найдутся числа x, y, z такие, что = xi, = уj, = zk и, следовательно,

а = xi + уj + zk . (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, k .

Векторы i, j, k попарно ортогональны, а их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом или ортобазисом.

Рис. 19. Рис. 20. Рис.21. Рис.22.

Для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, k единственно, т.е. коэффициенты x, y, z в разложении вектора а по векторам i, j, k определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами

x, y, z т. А – конца вектора а. В этом случае пишется а = { x, y, z }. Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задается упорядоченной тройкой своих координат.

Векторы xi, уj, zk, сумма которых равна вектору а, называется компонентами вектора а.

Из сказанного следует, что два вектора а = { x₁, y₁, z₁ } и b = { x₂, y₂, z₂ } равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т.е. а = b  .

Радиусом–вектором т.М (x, y, z) называется вектор r = xi + уj + zk, идущий из начала координат О в т.М (рис.20).

Линейные операции над векторами

Пусть имеем два вектора а = { x₁, y₁, z₁ } и b = { x₂, y₂, z₂ }, так что а = x₁ i + у₁ j + z₁ k, b = x₂ i + у₂ j + z₂ k. На основании правила сложения векторов имеем:

а + b = ( x₁ i + у₁ j + z₁ k ) + (x₂ i + у₂ j + z₂ k ) = (x₁ + x₂ ) i + (y₁ + y₂ ) j + (z₁ + z₂ ) k ,

или а + b = { x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁+ z₂} - при сложении векторов их координаты

попарно складываются.

Аналогично получаем а – b = { x₁ – x₂, y₁ – y₂, z₁ – z₂}

Далее, а = x₁ i + у₁ j + z₁ k или а = { x₁, y₁, z₁} - при умножении вектора

на число все его координаты умножаются на это же число.

Пусть а = { x₁, y₁, z₁ } и b = { x₂, y₂, z₂ } – коллинеарные векторы, причем b  0. Тогда

а =  b, т.е. x₁ =  x₂ , у₁ =  у₂ , z₁ =  z₂ , или . (3)

Обратно, если выполняется (3), то а =  b, т.е. векторы а и b коллинеарны.

Т.о., векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты

пропорциональны.

Пример. Найти координаты вектора , начало которого находится в т. М₁(x₁, y₁, z₁),

а конец – в т. М₂(x₂, y₂, z₂).

Из рис.22 видно, что = r₂ – r₁ , где r₁ и r₂ - радиусы-векторы точек М₁ и М₂

соответственно. Поэтому = { x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁} - координаты вектора равны

разности одноименных координат конечной М₂ и начальной М₁ точек этого вектора..