4. Правило Крамера решения линейных систем 2-го порядка

Рассмотрим систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными (1)

Составим определитель из коэффициентов системы . Если Δ = 0, то система (1) имеет бесконечное множество решений и называется вырожденной. Если Δ ≠ 0, то строим определители и , получаемый из Δ заменой соответственно первого и второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Решение системы (1) : Эти формулы называются формулами Крамера.

Пример. Решить систему уравнений .

  = = 0 + 84 + 96 – 105 – 48 – 0 = 27. _х1 = = 0 – 72 + 216 + 90 – 288 – 0 = –54.

_х2 = = 0 + 252 – 72 – 189 + 36 – 0 = 27. _х3 = = –30 + 126 + 192 – 210 + 48 – 72 = 54.

х₁ = = = –2, х₂ = = = 1, х₃ = = = 2. 

Элементы векторной алгебры

1. Понятие связанного и свободного векторов

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получим направленный отрезок АВ, называемый связанным вектором, в другом случае – направленный отрезок или связанный вектор ВА. На чертеже заданное направление задается стрелкой (рис.1). В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.

Рис.1. Рис.2. Рис.3. Рис.4. Рис.5. Рис.6.

Связанные векторы АВ и CD равны (АВ = CD), если середины отрезков AD и BC совпадают (рис.2). Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример. Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Здесь AB = DC, BC ≠ DA.

Некоторые свойства равных связанных векторов:

1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = ВА.

2. Если АВ = CD, то и CD = АВ.

3. Если АВ = CD и CD = EF , то АВ = EF (рис.4).

Пусть АВ – заданный связанный вектор и С – произвольная точка. Ясно, что, опираясь на

определение, всегда можно построить точку D так, чтобы CD = АВ. Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис.5).

Далее будем рассматривать свободные векторы, т.е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор АВ однозначно определяется заданием связанного вектора АВ.

Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то приходим к понятию скользящего вектора (рис.6).

Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.

Для обозначения свободных векторов пользуются полужирными строчными латинскими буквами – a, b, c, … ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор a и точка А. Существует ровно одна точка В, для

к оторой = a (рис.7). Операция построения связанного вектора ,

для которого выполняется это равенство, называется откладыванием Рис.7.

свободного вектора a от точки А.

Связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую длину. Это позволяет ввести длину свободного вектора a, которую обозначают символом | a |. Длина нулевого вектора равна нулю.

Если a = b, то | a | = | b |. Обратное неверно.