2. Линейные операции над векторами

2.1. Сложение векторов

Пусть заданы два вектора a и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: = a. От полученной точки А отложим вектор b: = b. Полученный в результате вектор называется суммой векторов a и b и обозначается через a + b (рис.8). Этот способ получения суммы векторов называется правилом треугольника.

Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых a и b a + b = b + a (рис.9).

Рис.8. Рис.9. Рис.10. Рис.11.

Если отложить векторы a и b от общей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой a + b (или b + a) (рис.10). Этот способ получения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Пусть заданы три вектора a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: = a; от полученной точки А отложим вектор b: = b; от точки В – вектор с: = с (рис.11).

Рис.12. Рис.13. Рис.14. Рис.15.

По определению суммы = a + b и = (a + b) + с (рис.12). С другой стороны,

= b + с и, значит, = a + (b + с) (рис.13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство (a + b) + с = a + (b + с), т.е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так: a + b + с.

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис.14 показано, как построить сумму семи векторов: a = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ . Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.

Пример 1. Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.

По правилу замыкающего ломаную получаем a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ = 0 (рис.15) .

2.2. Умножение вектора на число

Свободные векторы a и b называются коллинеарными, если

определяющие их связанные векторы лежат на параллельных

или на совпадающих прямых (рис.16). Обозначение: a | | b.

Замечание. Из определения следует, что если хотя бы один

из векторов a или b нулевой, то они коллинеарны. Рис.16. Рис.17.

Если отложить коллинеарные векторы a и b от общей точки О, = a, = b, то точки О, А и В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: 1) точки А и В располагаются: по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис.17). В первом случае векторы называются одинаково направленными, во втором – противоположно направленными.

Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то оно равны.

Пусть a – вектор, λ – вещественное число. Произведением вектора a на число λ называется вектор b такой, что 1) | b | = | λ | ∙ | a | ; 2) векторы a и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ < 0).

Обозначение: b = λ a .

При λ = 0 полагают, λ a ≡ 0.

Т.о., векторы a и b = λ a коллинеарны по определению. Верно и обратное: если векторы a (a ≠ 0) и b коллинеарны, то можно найти число λ такое, что b = λ a .

Основные свойства операции умножения вектора на число:

1. (λ + μ) a = λ a + μ a. 2. λ (μ a) = (λ μ) a. 3. λ (a + b) = λ a + λ b.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом, и обозначается a⁰ (читается: a с нуликом), | a⁰ | = 1.

Если a ≠ 0, то вектор a⁰ = a = есть единичный

вектор (орт) направления вектора a (рис.18). Рис.18.