5. 2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:

а = {x₁, y₁, z₁}, b = {x₂, y₂, z₂}. Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:

(а, b) = (x₁i + y₁ j + z₁k, x₂i + y₂ j + z₂k) = || распределительный закон скалярного произведения || =

= x₁x₂ (i, i) + y₁x₂ (j, i) + z₁x₂ (k, i) + x₁y₂ (i, j) + y₁y₂ (j, j) + z₁y₂ (k, j) + x₁z₂ (i, k) + y₁z₂ (j, k) + z₁z₂ (k, k).

Учитывая, что (i, j) = (i, k) = (j, k) = 0, (i, i) = (j, j) = (k, k) = 1, получаем

(а, b) = x₁x₂ + у₁у₂ + z₁z₂ . (4)

В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов а и b равно сумме произведений одноименных координат.

Пример. Найти скалярное произведение векторов а = 4i – 2 j + k и b = 6i + 3 j + 2k.

(а, b) = 4 ∙ 6 + (-2) ∙ 3 + 1 ∙ 2 = 20.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом: (а, a) = а² .

Применяя формулу (4) при b = а, найдем а² = x₁² + у₁² + z₁². (5)

С другой стороны, а² = (а, а) = | а² | ∙ cos 0 = | а² | , так что из (5) следует, что

| а | = – (6)

в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

5. 3. Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы

Согласно определению (а, b) = | а | ∙ | b | ∙ cos φ, где φ – угол между векторами а и b. Из этой формулы получаем: cos φ = . (7)

Пусть а = {x₁, y₁, z₁}, b = {x₂, y₂, z₂}. Тогда формула (7) примет следующий вид

cos φ = . (8)

Пример. Найти угол между векторами а = 2i – 4 j + 4k и b = -3i + 2 j + 6k.

cos φ = = .

Пусть b = i, т.е. b = {1, 0, 0}. Тогда для всякого вектора а = {x, y, z} ≠ 0 имеем

cos α = или, в координатной записи, cos α = ,

где α – угол, образованный вектором а с осью Ох.

Аналогично получаем формулы

cos β = = и cos γ = = . Рис.29.

Данные формулы определяют направляющие косинусы вектора а, т.е. косинусы углов, образуемых вектором а с осями координат (рис.29).

Пример. Найти координаты единичного вектора n⁰.

По условию | n⁰ | = 1. Пусть n⁰ = xi + y j + zk. Тогда (n⁰, i) = x = | n⁰ | ∙ | i | ∙ cos (n⁰^ i) = cos α,

(n⁰, j) = y = cos β, (n⁰, k) = z = cos γ .

Т.о., координатами любого единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим

вектором с осями координат: n⁰ = i cos α + j cos β + k cos γ.

Отсюда получаем: (n⁰)² = (n⁰, n⁰) = 1 = cos² α + cos² β + cos² γ.

Пример. Пусть единичный вектор n⁰ ортогонален оси Оz: n⁰ = xi + y j (рис.30).

Тогда его координаты соответственно равны x = cos φ, y = sin φ. Тем самым,

n⁰ = i cos φ + j sin φ.

Рис.30.