Решение

Газ при этих параметрах можно считать идеальным и использовать все законы и формулы молекулярно-кинетической теории идеального газа.

1) Количество газа (число молей смеси), как и масса, является аддитивной величиной,– равной сумме числа молей компонентов смеси:

,

здесь  , где – соответственно, масса и молярная масса i-го компонента смеси.

Вычисляем:

2) Найдем молярную массу газовой смеси из формулы для числа молей смеси:

.

Вычисляем молярную массу газовой смеси:

.

Дано

; ; ; ;

1)  2)  3) 4) 5) 6)

3) Объем газа найдем из уравнения состояния идеального газа:

.

Вычисляем объем, занимаемый газом:

.

4) Концентрация i-го компонента газа ; где – число молекул данного компонента, равное ; здесь – число Авогадро.

Вычисляем концентрации компонентов газовой смеси:

;

.

5) Средняя энергия молекулы , где i – число степеней свободы молекулы газа; для двухатомной молекулы азота , а для одноатомной молекулы гелия – постоянная Больцмана. Вычисляем среднюю энергию молекул

азота: ;

гелия:

6) Рассчитываем скорости молекул компонентов газа – азота и гелия.

а) Наиболее вероятная скорость ;

для молекулы азота ;

для молекулы гелия

Видим, что молекулы с малой массой имеют большую скорость – при одинаковой температуре газа.

б) Средняя квадратичная скорость молекулы

в) Средняя арифметическая скорость молекулы

для азота

для гелия

Задача 20. Термос высотой состоит из двух цилиндров, разделенных слоем воздуха. Радиус внешнего цилиндра , радиус внутреннего – . Давление воздуха между стенками термоса ; молярная масса Термос наполнен чаем, температура которого . Температура наружного воздуха Какое количество теплоты переносится путем теплопроводности через боковую поверхность термоса за время ? Эффективный диаметр молекул воздуха

Дано Решение

Воздух: ; ;

; ; ; ; ; ;

Согласно уравнению Фурье для теплопроводности поток тепла

, (1)

где ось x направлена вдоль переноса энергии, т. е. по радиальному направлению.

Будем рассматривать перенос через боковую поверхность цилиндра, имеющего средний радиус . Площадь этой боковой поверхности

(2)

Градиент температуры

. (3)

Согласно МКТ, теплопроводность идеального газа определяется формулой

(4)

В этой формуле величины зависят от температуры газа, которая изменяется от , поэтому найдем среднюю температуру газа , для которой будем вычислять указанные параметры. В уравнении (4) скорости молекул близки по величине, так как молярные массы этих компонентов воздуха различаются несущественно; поэтому, используя величину молярной массы M для воздуха, находим усредненную скорость молекул по формуле

.

Так как в уравнение (4) входит несколько независимых величин, вычислим их по отдельности. Средняя арифметическая скорость молекул воздуха

.

Средняя длина свободного пробега молекул . Выразим концентрацию молекул n через давление газа, используя уравнение состояния идеального газа: . Тогда формула для длины свободного пробега принимает следующий вид:

.

Вычисляем:

Сравним эту величину с расстоянием , которое пролетают молекулы в радиальном направлении от цилиндрической стенки радиусом к стенке радиусом . Видим, что величина Такое состояние газа является высоким вакуумом для данного сосуда: в нем молекулы будут пролетать практически без соударений друг с другом от стенки внутреннего цилиндра к внешнему цилиндру. Следовательно, длина свободного пробега молекул

Плотность воздуха найдем, выражая ее из уравнения состояния идеального газа:

.

Вычисляем плотность воздуха:

Заметим, что так как заданное в условии задачи давление воздуха , т. е. в раз меньше, чем при нормальных условиях, то и плотность воздуха должна быть в раз меньше, чем ρ . Следовательно, величина плотности воздуха, находящегося между стенками термоса, определена верно.

Удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме

.

Так как молекулы воздуха – двухатомные, то число степеней свободы этих молекул Вычисляем

.

Вычислим теплопроводность воздуха по формуле (4), подставляя найденные значения величин:

.

Сравнивая полученную величину K с теплопроводностью воздуха при нормальных условиях, равной 2,4 , видим, что теплопроводность воздуха в условиях вакуума на порядок (т. е. примерно в 10 раз) меньше. Следовательно, и поток тепла, переносимый через вакуумный слой воздуха, будет в ~10 раз меньше, чем при атмосферном давлении.

Запишем расчетную формулу для количества переносимой теплоты , выражая ее из уравнения (1) с учетом формул (2) и (3):

.

Вычисляем определяемую величину

.

Задача 21. Для некоторого состояния водорода измерены величины коэффициента диффузии и вязкости газа : Найдите для этого состояния газа его плотность , концентрацию молекул , среднюю длину свободного пробега молекул и их среднюю арифметическую скорость .