3. Примеры решения задач

3.1. Кинематика поступательного и вращательного движения План решения кинематических задач

1. Сделайте рисунок, на котором покажите оси x и y и вектор начальной скорости ; этот вектор направлен по касательной к траектории. В случае, если тело после броска совершает движение в поле тяжести Земли под действием силы , траекторией движения является парабола или ветвь параболы, а полное ускорение тела равно ускорению свободного падения .

2. Выясните характер независимых движений вдоль осей x и y: равномерное или равнопеременное. Запишите для этих движений уравнения кинематики в проекции на оси x и y:

3. Для криволинейного движения используйте также естественные оси – касательную и нормаль к траектории. Такие оси следует показать на рисунке в той точке, где необходимо определить нормальное и тангенциальное ускорение. Эти ускорения являются составляющими полного ускорения, равного , поэтому для нахождения составляющих необходимо с конца вектора опустить перпендикуляры на нормаль и касательную. Из полученного так треугольника ускорений с помощью функций находят величины Необходимые значения тригонометрических функций определяют из треугольника скоростей; для его построения в той же точке траектории на рисунке показывают составляющие вектора скорости , при сложении которых получается вектор скорости направленный по касательной к траектории.

4. Если в задаче задан кинематический закон поступательного или вращательного движения, то для нахождения скорости и ускорений используют определительные формулы, последовательно дифференцируя функцию закона движения , а затем дифференцируя полученный закон изменения скорости

Задача 1. Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите: 1) уравнение траектории движения тела , 2) время движения , 3) скорость, нормальное и тангенциальное ускорение тела через после начала движения, 4) радиус кривизны траектории в этот момент времени.

Рис. 2 Дано Решение у ; ; . 0

В данном случае размерами тела можно пренебречь и принять его за материальную точку. Если не учитывать сопротивление воздуха, то в поле силы тяжести тело движется с постоянным ускорением , направленным вертикально вниз (рис. 2). Движение тела криволинейное, сложное и характеризуется системой уравнений:

(1) Это движение можно представить как совокупность двух прямолинейных движений: горизонтального – по оси x, и вертикального – по оси y. Законы этих прямолинейных движений получим, проецируя на оси х и у уравнения (1). Запишем проекцию левой и правой части уравнений (1) на ось x:

;

Так как проекция ускорения , а начальная скорость , то

, , (2)

т. е. движение вдоль оси х равномерное. Аналогично запишем для оси у:

, . (3)

По рис. 2 видно, что а скорость ; поэтому уравнения (3) принимают следующий вид:

. (4)

Следовательно, движение тела вдоль оси у равнопеременное: с  постоянным ускорением .

1) Найдем уравнение траектории в виде . Для этого из уравнения (2) выразим время и подставим его в уравнение (4):

, или .

После вычисления коэффициентов при переменной x получаем уравнение траектории в виде:

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (см. рис. 2).

2) Время движения тела состоит из двух интервалов времени: времени подъема и равного ему времени падения , так как падение и подъем тела происходили с одинаковым ускорением g. Время подъема может быть найдено из условия в наивысшей точке траектории, т. е., в соответствии с уравнением (4): , откуда время , а время движения тела .

Вычисляем по этой формуле:

Видим, что заданное время меньше, чем но больше времени движения до вершины параболы следовательно, заданная точка находится на нисходящей ветви параболы.

3) Модуль скорости движения тела выразим через проекции:

.

Подставляя значения проекций скорости по формулам (2) и (4), получаем

Вычисляем:

Тангенциальное и нормальное ускорения могут быть определены двумя способами: аналитическим – по определительным формулам, и графическим – этот способ применим в данном решении.

Изобразим на рис. 2 в момент времени вектор скорости тела и его проекции и . Далее изобразим в этот же момент времени вектор полного ускорения и разложим его на составляющие Для этого проведем касательную к траектории (по ней направлен вектор скорости) и нормаль – перпендикулярно касательной. Чтобы найти составляющие и , с конца вектора опустим перпендикуляры на касательную и нормаль к траектории. Из полученного треугольника ускорений находим значения ускорений

; . (5)

Так как угол есть и в треугольнике скоростей, запишем значения через проекции и модуль скорости:

;

Вычислим

Результат расчета ускорений по формулам (5):

Радиус кривизны траектории в точке A, где находилось тело в момент , находим из формулы нормального ускорения:

; вычисляем

Задача 2. Материальная точка движется по окружности радиусом . Зависимость пути от времени дается уравнением , где  = 0,1   . Определите нормальное и тангенциальное ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки .

Дано Решение

м; Найдем нормальное ускорение по формуле

;

; Вычислим

. Запишем определительную формулу тангенциального

ускорения

(1)

Найдем модуль скорости по формуле (2)

Дифференцируя зависимость пути от времени, получаем

. (3)

В соответствии с формулой (1) величина равна производной от функции ; с учетом выражения (3) находим

, (4)

где t – момент времени, в который скорость стала равна 0,3 м/с. Находим это время из формулы (3):

Вычисляем тангенциальное ускорение по формуле (4):

.

Задача 3. Материальная точка вращается вокруг неподвижной оси по закону , где , , . Определите полное ускорение точки, находящейся на расстоянии от оси вращения, для момента времени .

Дано ; ; ; ; ; .

Решение

Полное ускорение материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, может быть найдено как векторная сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории:

.

Так как векторы ускорений и взаимно перпендикулярны (рис. 3), то модуль ускорения

. (1) Нормальное и тангенциальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

, ,

где – угловая скорость; – угловое ускорение тела.

Подставляя выражения и в формулу (1), находим полное ускорение вращающейся материальной точки

Рис. 3 . (2)

Угловую скорость найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:

.

Вычислим угловую скорость в момент времени

.

Угловое ускорение находим, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

; вычислим .

Подставляя значения в формулу (2), получаем величину полного ускорения материальной точки:

.