1.5. Законы сохранения

Всякая система при движении изменяет свое состояние, при этом изменяются значения параметров, характеризующих состояние системы. Однако существуют такие величины – функции состояния, которые обладают важным свойством оставаться с течением времени неизменными, если соблюдены определенные условия. Среди этих величин наиболее важную роль в механике играют импульс, момент импульса и энергия механической системы.

1.5.1. Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса (ЗСИ): в замкнутой системе полный импульс остается постоянным

или

где – массы тел, входящих в систему;  – скорости соответствующих тел до взаимодействия;  – скорости этих же тел после взаимодействия.

Замкнутой механической системой является такая система тел, на которую не действуют внешние силы. Но таких идеальных систем на практике не встречается: невозможно создать такую систему, чтобы полностью исключить ее взаимодействие с внешними телами, не входящими в систему. При решении практических задач замкнутой системой тел можно считать такую, на которую действуют внешние силы, но их сумма равна нулю. В ряде задач сохраняется проекция импульса на одну из осей, если при этом проекции внешних сил на эту ось равны нулю.

Пример практически замкнутой системы приведен на рис. 1. На тела, входящие в систему: на два шарика, движущихся вдоль оси x, – действуют силы тяжести и силы нормальных реакций опоры но сумма этих сил равна нулю, да и проекции их на направление скорости равны нулю.

1.5.2. Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса (ЗСМИ) можно применять к любой механической системе при условии, что результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, равен нулю . Формулировка закона: Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени:

.

Здесь записана сумма векторов моментов импульса всех частей системы.

Напомним, что момент импульса твердого тела равен произведению его момента инерции на угловую скорость: , – а момент импульса системы тел есть векторная сумма моментов импульса всех тел данной системы:

.

1.5.3. Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии (ЗСМЭ): полная механическая энергия системы тел сохраняется, если на тела системы действуют только консервативные силы (внутри и извне), а диссипативные силы отсутствуют или их работа равна нулю:

,

где – кинетическая энергия, равная сумме энергий всех тел системы, – потенциальная энергия системы.

Консервативными являются силы, работа которых зависит только от закона сил и от начального и конечного положения тела; работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы. Консервативными являются сила тяжести, сила упругости гравитационная сила. Диссипативными являются силы трения и сопротивления, приводящие к превращению механической энергии во внутреннюю энергию тел путем их нагрева.

ЗСМЭ является частным случаем закона сохранения энергии системы: вследствие действия диссипативных сил происходит превращение кинетической энергии тел в эквивалентное количество других видов энергии, не связанных с механическим движением тел, например, в энергию теплового движения молекул.