3.3. Законы сохранения План решения задач с использованием законов сохранения: зси, зсми и зсмэ

Динамические функции механической системы: импульс, момент импульса, механическая энергия, – сохраняются при выполнении определенных условий. Поэтому выбору того или иного закона сохранения, например, при вращательном движении – ЗСМИ или ЗСМЭ, должен предшествовать анализ сил, действующих между телами механической системы.

1. Для сохранения количества движения: импульса или момента импульса, – требуется замкнутая система тел, т. е. отсутствие внешних сил или равенство нулю равнодействующей всех внешних сил. Но в ряде задач, к которым относятся удары шаров, разрыв гранаты, снаряда и др., достаточно, чтобы внутренние силы были большими по сравнению с внешними силами, тогда последними можно пренебречь и считать систему практически замкнутой. Для сохранения момента импульса достаточным является условие равенства нулю момента внешних сил, что обеспечивается, если силы параллельны оси вращения или когда линия их действия проходит через ось вращения.

2. Использование закона сохранения механической энергии возможно, если в рассматриваемой системе тел действуют только консервативные силы – и внутренние, и внешние. При этом силы трения и сопротивления движению и другие неконсервативные силы (работу которых невозможно представить как изменение потенциальной энергии), должны быть пренебрежимо малы по сравнению с консервативными силами. Однако, и при значительной величине силы трения возможно сохранение механической энергии, если работа силы трения равна нулю: для этого достаточно, чтобы не перемещалась точка приложения силы трения (или другой неконсервативной силы).

3. Способ решения задач с использованием того или иного закона сохранения заключается в составлении равенства, где значения сохраняющейся величины: импульса, момента импульса или механической энергии системы тел, – записывают в левой и в правой части, соответственно, в двух состояниях: начальном и конечном. Причем, для векторных величин импульса и момента импульса уравнения законов сохранения – векторные.

4. В связи с тем, что скорости тел: и линейная, и угловая, – величины относительные, то и связанные с ними динамические функции: импульс, момент импульса и кинетическая энергия тел, – также являются относительными величинами, т. е. их значения зависят от выбранной системы отсчета. Поэтому в уравнения законов сохранения следует записывать скорости тел относительно одной и той же системы отсчета: обычно используют условно неподвижную систему отсчета, связанную с Землей.

Задача 9. Молот массой , двигаясь со скоростью , ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием . Считая удар неупругим, определите энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Найдите коэффициент полезного действия процесса ковки в данных условиях.

Дано Решение

; Рассмотрим систему молот – наковальня –  Земля (рис. 9).

; Эта система является замкнутой, так как силы, возникающие

при взаимодействии тел системы: сила тяжести, сила

реакции опоры, на которой стоит наковальня, силы

неупругой деформации (подобные силам трения), – являются

в нутренними. Известно, что если в системе действуют силы, аналогичные силе трения, то для системы не выполняется закон сохранения механической энергии, но выполняется закон сохранения полной энергии. Из него следует, что энергия, затраченная на деформацию изделия при ковке, равна разности значений механической энергии до и после удара:

Рис. 9

.

Незначительным перемещением

изделия и наковальни можно пренебречь, поэтому изменение потенциальной энергии . Изменением механической энергии Земли в результате взаимодействия также можно пренебречь. Это означает, что на деформацию идет только часть кинетической энергии:

, (1)

где – кинетическая энергия молота перед ударом; – энергия молота и наковальни с изделием после неупругого удара.

Скорость системы после неупругого удара определим из закона сохранения импульса:

, (2)

где – импульс системы до удара; – импульс после удара.

Проекция уравнения ЗСИ (2) на ось x:

; (3)

Энергию деформации найдем по уравнению (1) с учетом формулы (3):

(4)

Подставим значения величин в расчетную формулу (4):

.

Эта энергия деформации по условию задачи является полезной, а затраченной энергией является первоначальная энергия молота перед ударом

(5)

Следовательно, коэффициент полезного действия процесса ковки

(6)

Вычислим КПД процесса ковки

Задача 10. Шар массой , движущийся со скоростью , сталкивается с шаром массой , который движется ему навстречу со скоростью . Определите: а) скорость шаров после удара, б) кинетическую энергию шаров до и после удара, в) энергию, затраченную на деформацию шаров при ударе. Удар считайте прямым, неупругим, центральным.

Дано Решение

;

;

;

.

Рис. 10

а) Неупругие шары после удара не восстанавливают свою форму (рис. 10). Следовательно, не возникают силы, способные оттолкнуть шары друг от друга. Это приводит к тому, что шары после удара движутся вместе со скоростью . Определим эту скорость, используя закон сохранения импульса. Шары образуют замкнутую систему и поэтому, согласно ЗСИ:

До удара суммарный импульс двух шаров

.

После взаимодействия их суммарный импульс

.

Следовательно, уравнение ЗСИ имеет следующий вид:

, (1)

Запишем проекцию уравнения (1) на ось :

,

выразим скорость шаров после удара и вычислим её:

.

б) Кинетическую энергию шаров до и после удара определим по формулам:

;

.

в) Энергия деформации равна разности кинетических энергий шаров до и после удара:

Можно также вычислить долю энергии, пошедшей на деформацию:

.

Задача 11. Шар массой , движущийся горизонтально со скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой . Шары упругие, удар центральный. Определите: а) скорости шаров после удара, б) долю  кинетической энергии, которую первый шар передал второму.

Дано Решение

; а) Соударяющиеся шары (рис. 11) образуют замкнутую

; консервативную систему. Из этого следует, что при их

; взаимодействии выполняется и закон сохранения импульса

. , (1)

и закон сохранения механической энергии

(2)

Для центрального удара можно от векторной записи ЗСИ (1) перейти к записи его в проекции на ось х:

. (3)

Для решения нелинейной системы уравнений (2) и (3) получим линейное уравнение путем деления равенства (2) на (3). Чтобы массы шаров сократились при делении, перенесем в левую часть каждого уравнения слагаемое, содержащее

; (2a)

(3a)

Разделим уравнение (2а) на (3а), при этом получим линейное уравнение

(4)

Далее решаем систему двух линейных уравнений: (3) и (4). Из уравнения (4) выразим скорость и подставим ее в уравнение (3):

; (5)

Из уравнения (4) найдем скорость , используя полученную величину

(6)

Вычисляем скорости шаров после удара по формулам (5) и (6):

.

б) Доля энергии , переданной первым шаром второму, выразится отношением

(7)

где – кинетическая энергия второго шара после удара, – кинетическая энергия первого шара до удара,

Подставляя в соотношение (7) величину по формуле (5), имеем:

(8)

Из полученного выражения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров и не зависит от их скоростей. Вычислим долю переданной энергии по формуле (8):

;

Задача 12. Пуля массой попадает в деревянный брусок массой , подвешенный на нити, и застревает в нем. Определите скорость пули, если брусок вместе с пулей, отклонившись от первоначального положения, поднимается на высоту .

Дано Решение

; Рассмотрим систему пуля – брусок– Земля. Выясним

; характер взаимодействия тел в различных положениях . бруска. Систему отсчета свяжем с Землей. В момент неупругого удара в системе действуют внутренние силы: сила тяжести , сила упругой реакции нити, а также силы неупругой деформации, аналогичные силам трения. Следовательно, в момент удара в системе не выполняется закон сохранения механической энергии. А закон сохранения импульса выполняется, так как система замкнута. После взаимодействия пули с бруском: между положениями 1 и 2 (рис. 10), – действие силы неупругой деформации исчезает, а работу совершает только консервативная сила тяжести; значит, можно использовать закон сохранения механической энергии.

Проведенный анализ позволяет для абсолютно неупругого удара пули и бруска записать закон сохранения импульса в виде:

.

Здесь в левой части записан импульс системы до взаимодействия пули с бруском, равный импульсу пули, а справа – импульс бруска с пулей после их соударения. Запишем ЗСИ в проекции на ось : и выразим скорость бруска с пулей: (1)

2 1 Рис. 12

Следовательно, брусок с пулей в положении 1 после неупругого удара обладает кинетической энергией

.

Потенциальная энергия бруска в этом положении , так как приняли За счет кинетической энергии брусок отклонится от положения равновесия и поднимется на высоту h, в положение 2. В этом положении скорость бруска и его кинетическая энергия равна нулю:

При переходе системы пуля – брусок – Земля из положения 1 в 2, для системы выполняется закон сохранения механической энергии:

, (2)

где – кинетическая энергия системы в положениях 1 и 2; потенциальная энергия системы в этих положениях. Подставим величины энергий в формулу ЗСМЭ (2):

(3)

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия бруска в положении 1 полностью переходит в его потенциальную энергию в положении 2. Согласно уравнению (3)

(4)

Подставим в это уравнение скорость бруска u по формуле (1):

(5)

Упростим формулу (5): с учетом того, что масса пули , величиной , как слагаемым, можно пренебречь, – тогда определяемая скорость пули

.

Вычислим величину :

.

Задача 13. Диск радиусом см начинает скатываться с высоты по наклонной плоскости, образующей угол с плоскостью горизонта С каким ускорением движется центр масс диска? Найдите линейную скорость центра масс в конце наклонной плоскости.

Дано Решение

; Есть два пути решения данной задачи: с помощью

; законов динамики поступательного и вращательного

. движения и с использованием закона сохранения

механической энергии (ЗСМЭ).

1-й путь решения задачи

Качение – это сложное движение, которое является суммой двух простых: вращательного движения тела вокруг оси , проходящей через центр масс (ЦМ), и поступательного движения тела со скоростью, равной – скорости движения ЦМ. Центр масс механической системы или твердого тела – это точка С (рис. 13), которая в однородном поле тяжести совпадает с центром тяжести тела. Напомним, что центр тяжести тела – это точка, в которой приложена сила тяжести, равная .

С

С

С

0

α

α

Рис. 13

Запишем закон динамики для вращательного движения диска вокруг оси

(1)

На диск действуют два тела: Земля – силой тяжести , и наклонная плоскость. Реакция этой опоры состоит из двух составляющих: силы нормальной реакции и силы трения , которая не дает проскальзывать диску, а обеспечивает его качение. Силы проходят через точку С, поэтому плечо каждой из них равно нулю, следовательно, моменты этих сил относительно оси равны нулю. Момент создает только сила , для которой плечо равно радиусу диска R, а момент этой силы

(2)

С учетом формулы (2) закон динамики (1) принимает следующий вид:

(3)

Так как в этом уравнении содержатся две неизвестных величины: угловое ускорение и сила трения, – то требуется еще одно уравнение. Это закон динамики поступательного движения центра масс (точки С), или теорема о движении ЦМ:

(4)

где  равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В данной задаче

(4a)

Проведем ось , направляя ее вдоль ускорения , и запишем уравнение (4а) в проекции на ось :

(5)

Далее решаем систему уравнений (3) и (5), но сначала установим связь углового ускорения диска и линейного . В силу относительности движения ускорение точки С , где – ускорение перемещения точки О относительно точки С; модули этих ускорений одинаковы: Из связи углового и линейного ускорения для вращения относительно оси имеем следовательно, исходя из равенства ускорений, получаем, что и величина

(6)

С учетом формулы (6) закон динамики (3) принимает следующий вид:

(7)

Из системы уравнений (5) и (7) нужно исключить неизвестную силу , для этого преобразуем уравнение (7), подставляя в него величину момента инерции диска При этом уравнение (7) запишется так:

; .

Подставим найденную величину силы в уравнение (5):

.

Выражая из полученного равенства ускорение , получаем расчетную формулу для определяемой величины ускорения центра масс диска в виде:

(8)

Вычисляем .

Для нахождения скорости точки С в конце скатывания диска с наклонной плоскости решаем кинематическую задачу. Из формулы (8) видим, что величина ускорения т. е. движение точки С равноускоренное; для такого движения скорость

, (9)

где t – время движения диска; это время найдем из другого уравнения кинематики равноускоренного движения, согласно которому путь, пройденный точкой С,

. (10)

Преобразуем данное уравнение с учетом того, что а из треугольника (см. рис. 11) имеем , что дает величину . Тогда, согласно уравнению (10), получаем

, . (11)

Подставим в уравнение (9) ускорение по формуле (8) и время скатывания по формуле (11). При этом получаем расчетную формулу:

. (12)

Вычислим величину скорости ЦМ диска:

2-й путь решения задачи

Качение рассмотрим как вращение вокруг мгновенной оси вращения (МОВ). Этой осью (по свойству оси вращения, точки которой неподвижны) является линия касания диска с наклонной плоскостью, – эта линия проходит через точку О (см. рис. 13). В этой точке приложены силы реакции опоры – , причем, вторая их них явно неконсервативная, но моменты этих сил относительно МОВ равны нулю (плечо для них равно нулю). Благодаря этому силы реакции опоры не совершают работу, величина которой при вращательном движении Сила тяжести является консервативной, поэтому при качении выполняется закон сохранения механической энергии. Запишем ЗСМЭ, приравнивая в двух положениях диска: 1 – вверху и 2 – внизу:

. (13)

Здесь – кинетическая энергия вращения диска относительно МОВ, – потенциальная энергия, где – высота, на которой находится точка С. Примем, что ; в этом случае имеем удобный нуль отсчета потенциальной энергии, так как По рис. 13 видно, что В положении 1 величина , так как диск начинает движение из состояния покоя. С учетом этих замечаний уравнение ЗСМЭ (13) запишется в следующем виде:

(14)

Величину момента инерции диска относительно МОВ найдем по теореме Штейнера, учитывая, что расстояние между осями и МОВ равно R:

.

Подставляя величину в уравнение (14), получаем равенство

(15)

Здесь учтена связь линейной скорости точки С и угловой

Выразим из равенства (15) линейную скорость точки С:

Отметим, что полученная формула совпадает с формулой (12), найденной выше путем совместного решения двух задач – динамической и кинематической. Для нахождения ускорения нужно прибегнуть к кинематической задаче, согласно которой из уравнения (9)

. (16)

Из кинематической задачи (см. уравнение (11)) запишем:

.

С учетом этого выражения формулу (16) перепишем в виде

; .

Подставляя в последнее выражение величину из формулы (15), получаем расчетную формулу для линейного ускорения ЦМ диска в виде

; .

Полученная расчетная формула совпадает с формулой (8), найденной из решения с использованием законов динамики поступательного и вращательного движения диска.

Естественно, что при решении задач контрольной работы достаточно использовать один из двух рассмотренных выше способов решения. Отметим, что и в одном, и в другом способе время движения определяется в решении кинематической задачи.

Задача 14. В центре платформы стоит человек и держит на вытянутых в стороны руках гири массой каждая. Расстояние гири от оси вращения Платформа вращается с частотой . Как изменится частота вращения платформы и какую работу произведет человек, если он сблизит руки, уменьшая расстояние каждой гири от оси вращения платформы до Суммарный момент инерции человека и платформы относительно оси вращения .

Дано Решение

; Рассмотрим систему тел «скамья – человек – гири»

; (рис. 14). В этой системе силы взаимодействия человека ; с гирями и со скамьей являются внутренними, и поэтому

; они не изменяют момент импульса системы.

Внешние силы: сила тяжести и сила нормальной

реакции опоры, – параллельны оси вращения z, поэтому они не создают вращающего момента. Момент сил трения в оси так как частота вращения постоянна. Таким образом, моменты всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения скамьи равны нулю. Следовательно, выполняется закон сохранения момента импульса системы в следующем виде:

, или , (1)

г

де – моменты импульса системы относительно оси z, соответственно, до и после сближения гирь.

Запишем векторное уравнение (1) в проекции на ось вращения:

. (2)

До сближения гирь момент инерции системы

,

а после сближения –

,

г

Рис. 14

де – масса каждой гири.

Используя связь угловой скорости

и частоты вращения

, (3)

и подставляя величину и значения моментов инерции в уравнение ЗСМИ (2), получаем следующее равенство:

Из этого уравнения искомая частота вращения платформы

.

Вычисляем величину :

.

Перейдем к вычислению работы, которую произвел человек, сближая гири. Все перечисленные выше внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы. Поэтому работу, совершенную человеком, можно найти как приращение кинетической энергии системы:

.

Подставляя угловую скорость по формуле (3), получаем расчетную формулу в виде

(4)

Вычислим работу, совершенную человеком при перемещении гирь, по формуле (4):

Задача 15. Человек массой находится на неподвижной платформе массой и радиусом . Найдите угловую скорость, которую будет иметь платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом вокруг оси вращения со скоростью относительно платформы. Платформу можно считать однородным диском, а человека – точечной массой.

Дано ; ; ; ; .

Решение На примере предыдущей задачи мы убедились, что для системы человек – платформа момент внешних сил относительно вертикальной оси равен нулю, и к системе применим закон сохранения момента импульса: , (1) где и – начальный и конечный момент

и

мпульса системы человек – платформа, соответственно, до движения человека и при движении человека по платформе. Так как до начала движения человека система покоилась, то ее момент импульса

, (2)

Подставляя условие (2) в уравнение (1), получаем

. (3)

Рис. 15

Это означает, что в условиях данной задачи в любой момент времени момент импульса системы человек – платформа равен нулю. Чтобы обеспечить нулевое значение момента импульса системы, момент импульса платформы должен быть направлен противоположно моменту импульса человека , т. е. платформа будет вращаться в сторону, противоположную движению человека (рис. 15).

Свяжем систему отсчета с Землей и запишем выражение для момента импульса системы человек – платформа:

Перейдем от векторной записи к скалярной:

. (4)

Учтем, что , тогда равенство (4) принимает следующий вид:

(5)

Здесь момент импульса человека рассчитываем как для материальной точки:

, (6)

а платформы – как диска:

(7)

С учетом формул (6) и (7) уравнение (5) принимает следующий вид:

(8)

В уравнении (8) скорости человека и платформы указываются в одной системе отсчета, например, связанной с Землей, и условно принятой за неподвижную систему отсчета. В задаче дана скорость человека относительно движущейся платформы. Согласно закону сложения скоростей в классической механике, скорость тела в системе, принятой за неподвижную, равна векторной сумме скоростей: скорости тела относительно движущейся системы и скорости самой системы, в данном случае равной

,

или, в проекции на направление движения человека, получаем

(9)

Здесь под следует понимать линейную скорость тех точек платформы, по которым идет человек; эта скорость

(10)

С учетом формул (9) и (10) уравнение (8) принимает следующий вид:

или (11)

Запись ЗСМИ в виде уравнения (11) показывает, что человек участвует в двух движениях: движение «вперед» по платформе со скоростью и вместе с платформой, вращающейся с угловой скоростью , человек «откатывается назад». Из уравнения (11) определяем скорость вращения платформы:

.

Вычисляем величину по этой формуле:

.