Свойства определителя
Общий множитель какой-либо строки или столбца может быть вынесен за знак определителя.
Например,
.
Если все элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны нулю, то определитель равен нулю.
Например,
.
Если все элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны или пропорциональны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
Например,
.
При перестановке двух строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный.
Например,
.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками (транспонировать).
Например,
.
Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число (теорема о линейной комбинации).
Если в определителе какая-нибудь строка является линейной комбинацией остальных, то определитель равен нулю.
Вычисление определителей можно проводить путем последовательного понижения порядка определителя, используя его свойства.
Пример. Выполним следующие преобразования: 1) по свойству (6) умножаем вторую строку на 5 и прибавляем ее к элементам первой строки; 2) умножаем вторую строку на 7 и прибавляем ее к элементам третьей строки; 3) расписываем определитель по элементам первого столбца.
Упражнения
Вычислить определитель второго порядка по определению
1)
;
2)
;
3)
.
Вычислите определитель третьего порядка, разложив его по элементам
4) третьего столбца
;
5) второй строки
.
Вычислите определитель, используя свойства:
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Вычислите определитель:
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
.
Действия над матрицами
Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно складывать.
Определение. Суммой двух матриц одинакового размера А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Если
и
,
то их суммой называется матрица
.
Пример.
1)
,
2)
– не имеет смысла.
Законы сложения:
А+В=В+А
А+(В+С)=(А+В)+С
А+О=А
Вычитание матриц. Вычитание определено для матриц одинакового размера.
Определение. Разностью двух матриц одинакового размера А и В называется матрица С, элементы которой равны разности соответствующих элементов данных матриц.
Если и , то их разностью называется матрица
.
Пример.
1)
,
2)
– не имеет смысла.
Умножение матрицы на число.
Определение. Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А.
.
При умножении матрицы на нуль получается нулевая матрица.
Пример.
;
.
Сравните:
Умножение матрицы на вектор. Умножение определено, если число столбцов в матрице А равно числу элементов в векторе В.
Определение. Результатом умножения матрицы А на одностолбцовую матрицу В будет матрица, каждый элемент которой является результатом перемножения соответствующей строки на элементы вектора В.
.
Пример.
.
Умножение матрицы на матрицу. Умножение определено в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Определение. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой имеют вид:
,
(i=1,
2, …, n;
k=1,
2, …, n),
т.е. элемент таблицы С, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.
(m×n) (n×k) = (m×k)
Пример.
1)
;
2)
=
;
3)
;
4)
– не имеет смысла.
Проверьте наоборот:
.
При умножении квадратных матриц особое значение имеют нулевая и единичная матрицы:
Пример.
,
.
Свойства умножения матриц:
А·В ≠ В·А
0·А = А·0
Е·А = А·Е
Умножение матриц подчиняется сочетательному закону:
А (ВС) = (АВ)С.
Пример.
,
,
,
,
Возведение в степень. Так как возведение в степень сводится к умножению матрицы на себя, то это возможно только для квадратных матриц.
Пример.
.
Транспонирование – замена строчек соответствующими столбцами.
А=
,
АТ=
Квадратная матрица
и транспонированная к ней матрица имеют
равные определители:
.