Матричный способ

Запишем систему уравнений ( 3) в матричной форме

А Х=В,

где А – матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов.

Если определитель матрицы системы отличен от нуля ( ), то существует обратная матрица А^-1. Тогда решение системы уравнений можно свести к умножению матриц:

АХ=В  А^-1·АХ=А^-1·В

Х= А^-1·В. (6)

Пример. Решить матричным способом систему

Для данной системы составим матрицы

А= ; Х= ; В= .

Найдем матрицу, обратную к матрице А

А^-1= .

Подставим ее в формулу (6)

= · = = ,

т.е. .

Ответ: (2; -1; -3).

Упражнения

Решите систему методом подстановки:

1) 2)

Решите систему по формулам Крамера:

3) 4)

Решите систему методом Гаусса:

5) 6)

7) 8)

Решите систему матричным способом:

9) 10)

Решите систему:

11) 12)

13) 14)

15)

Вопросы к коллоквиуму

1. Определитель второго порядка: определение, элементы главной диагонали, вычисление определителя.

2. Свойства определителя.

3. Определитель третьего порядка: определение, минор для элемента а_ij, алгебраическое дополнение для элемента а_ij, разложение определителя по элементам строки (столбца), вычисление определителя. …

4. Определитель п-го порядка: нулевой определитель; единичный определитель; вычисление.

5. Матрица: определение называется, виды матриц, равные матрицы. Приведите примеры двух равных и двух неравных матриц.

6. Сумма и разность матриц: условие выполнения, правило. Приведите пример.

7. Умножение матрицы на число: правило. Приведите пример.

8. Произведение матриц: условие выполнения, правило, свойства операции умножения матриц.

9. Матрица обратная матрице А: определение, условие существования, алгоритм нахождения.

10. Методы решения систем линейных уравнений.

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислите определитель 2-го порядка:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) , 15). .

2. Вычислите определитель 3-го порядка:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

3. Вычислите определитель, разложив его по элементам:

А) первого столбца;

1) ; 2) ; 3) ;

Б) первой строки;

4) ; 5) ; 6) ;

В) третьего столбца;

7) ; 8) ; 9) ;

Г) третьей строки

10) ; 11) ; 12) ;

Д) второго столбца

13) ; 14) 15). .

4. Вычислите определитель, пользуясь свойствами определителя:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

5. Найдите матрицу М, заданную формулой:

1) М=2АВ - 4А, если , ;

2) М=2В²-5А, если , ;

3) , если , ;

4) , если , ;

5) , если , , ;

6) , если , , ;

7) , если , , ;

8) , если , ; ;

9) , если , ; ;

10) , если , ;

11) , если ; ; ;

12) , если ; ;

13) , если , , ;

14) , если , , ;

15) , если , , .

6. Найдите матрицу, обратную данной:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

7. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) 10) 11) 12)

13) 14) 15)

8. Решить систему уравнений методом Гаусса:

1. 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15)