Метод подстановки

Выражают одну переменную из какого-либо уравнения и подставляют в остальные уравнения. Так поступают до тех пор, пока не получат уравнение с одним неизвестным. Находят его значение, подставляют во все уравнения и находят значения других неизвестных.

Пример. Решить систему уравнений

Выражаем переменную у из второго уравнения и подставляем в первое уравнение.

Ответ: (2; -1).

Формулы Крамера

Составим главный определитель системы (3), т.е. определитель матрицы А (4) из коэффициентов при неизвестных

=

и п вспомогательных определителей, полученных путем замены в главном определителе соответствующего столбца столбцом, состоящим из свободных членов:

= , = , …, = .

Если , то решение системы (3) находится по формулам Крамера:

, , …, . (5)

Пример. Решить систему

≠0, , ,

, .

Ответ: .

Пример. Решить систему

, , ,

х= , y= , z= .

Ответ: (1; 2; 3).

Метод Гаусса

Этот метод в школьном курсе математики известен как метод сложения. Суть его заключается в последовательном исключении неизвестных. Система уравнений при этом приводится к ступенчатому виду. Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно.

Пример. Решить систему уравнений

Умножаем второе уравнение на 6 и складываем его с первым, получим уравнение с одной переменной.

Ответ: (2; -1).

Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приводится к треугольной, в которой последнее уравнений содержит одно неизвестное.

Пример. Решить систему методом Гаусса

В качестве ведущего выберем 1-е уравнение системы, которое в дальнейшем останется без изменения. В качестве ведущего неизвестного – х, которое исключим из второго и третьего уравнения системы. Для этого из 1-го уравнения вычитаем второе, а затем 1-е уравнение умножаем на 3 , а 3-е уравнении – на 2 и вычитаем из одного другое.

В качестве ведущих возьмем второе уравнение и у. Исключим у из третьего уравнения, для этого второе уравнение умножаем на 2 ( ) и вычитаем из него 3-е.

Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратным ходом получаем значения неизвестных:

.

Ответ: (4; 2; -1).

В случае неопределенной системы, т.е. такой, в которой число неизвестных больше числа линейно независимых уравнений, некоторые неизвестные принимают за базисные, которые выражают через остальные (свободные).

Пример. Решить

В данном случае число уравнений меньше числа неизвестных. Ранг системы r=2. поэтому только два неизвестных будут базисными.

Пусть неизвестные х и у – базисные, z – свободное. Выразим х и у через z

.

Придадим значение и получим решение системы в виде

.

Придавая t различные значения, будем получать различные частные решения данной системы уравнений.

Ответ: .

Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а соответствующую ей расширенную матрицу.

Пример. Решить систему уравнений

Поменяем местами первое и второе уравнения.

~

Вычитаем из 2-й и 3-й строк 1-ю строку, умноженную соответственно на 3 и на 4; поменяем знаки во второй строке.

~

Умножаем 2-ю строку на 5 и прибавляем к 3-й строке. Далее разделим 3-ю строку на (-11)

~ .

Система уравнений приняла треугольный вид:

Она имеет единственное решение: .

Ответ: (2; 3; -1).