II. Аналитическая геометрия

1. Метод координат на плоскости

Совокупность координатных осей О_х, О_у (с выбранной единицей масштаба) и их точки пересечения (начало отсчета) называют декартовой прямоугольной (или кратко прямоугольной) системой координат.

Каждой точке на плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у, которые называют координатами точки А(х; у).

Координатные оси О_х и О_у разбивают плоскость на I, II, III и IVквадранты (координатные четверти).

Например, на рисунке 1 построены точки А(0; 4), В(3; 2), С(- 4; 0) М (-2;-3).

Основные задачи, решаемые методом координат Расстояние между двумя точками

Найдем расстояние между двумя точками М₁ (х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂) (рис. 2).

Из прямоугольного треугольника М₁М₂ N по теореме Пифагора находим формулу для вычисления расстояния между точками:

. (7)

Пример. Найти расстояние между точками А(1; 3), В(4; 7).

По формуле (7) имеем

.

Деление отрезка в данном отношении. Середина отрезка

Требуется найти координаты точки М (х;у), лежащую на отрезке М₁М₂ и делящую его в данном отношении (рис. 3).

Если известны координаты концов отрезка М₁ (х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂), то координаты точки М(х_М;у_М), которая лежит на отрезке М₁М₂ и делит его в данном отношении

; (8)

• координаты точки М(х_М;у_М) – середины отрезка М₁М₂

. (9)

Пример. Вычислить координаты точки С – середины отрезка АВ, если А(1; 3), В(5; 7). По формулам (8) имеем

.

Ответ: С(3; 5).

Пример. Вычислить координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ : МВ=4, если А(10; 2), В(5; 7).

По формулам (9) имеем

.

Ответ: М(6;6).

Упражнения

1. Построить точки A(3; 5), B(- 4; 2), C(1;-3), D(-2;-2), E(-6; 0). K(0; 3).

2. Найдите расстояние между точками:

а) A(-3;-5) и B(2; 7); б) A(2; 7) и B(6; 4); в) A(12; 0) и B(0; -5); г) A(-4; 0) и B(0; 3); д) A(-2;-7) и B(3; -2); е) О(0; 0) и B(-8; 6).

3. Найдите координаты точки К – середины отрезка АВ:

а) A(3; 7) и B(1; 7); б) A(5;-5) и B(5; 7); в) A(4; 3) и B(8; 1); г) A(-2; 4) и B(6; -7).

4. Найдите координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении:

а) , А(3; 5), В(9; 8); б) , А(3; 5), В(9; 8); в) , А(7; 11), В(2; 1); г) , А(7; 11), В(2; 1).

5. Найдите длины сторон треугольника с вершинами А(3; 2), В(-1; -1) и С(11; -6).

6. Доказать, что треугольник с вершинами О(0; 0), А(3; 1) и В(1; 7) прямоугольный.

7. Найти координаты вершин квадрата, диагональ которого равна 6 единицам длины, точка пересечения диагоналей – в начале координат, диагонали лежат на осях координат.

2. Уравнение прямой на плоскости Общее уравнение прямой

В декартовой системе координат всякое уравнение первой степени относительно координат х и у

Ах+Ву+С=0, (10)

где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Уравнение (10) называется общим уравнением прямой на плоскости, где - нормальный (перпендикулярный) вектор данной прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через точку М(х₀;у₀) перпендикулярно вектору , имеет вид

.

Если прямая проходит через точку М(х₀;у₀) параллельно вектору , то

.