Упражнения

1. Определите, какие из точек А(2; 0), В(7; 4) и С(3; 2) лежат на прямой у=0,8х-1,6.

2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А и В:

а) А(2; 3), В(4; 5); б) А(4; -2), В(3; -4); в) А(3; 0), В(7; 4); г) А(3; 5), В(0; 4).

3. Напишите уравнение прямой у=kx+b:

а) k=3, b=2; б) k=-2, b= - 4; в) k=4, b= - 5; г) k=0, b=3; д) k=4, b=0.

4. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М и имеющей угловой коэффициент k:

а) М(0; 2), k=1; б) М(0; 0), k=-1; в) М(0; -3), k=0; г) М(0; 1), k=0,5; д) М(1; 1), k=1; е) М(3; - 2), k=-1; ж) М(-2; 5), k=-0,5.

5. Построить прямые и записать общее уравнение прямой:

а) ; б) ; в) ; г) .

6. Напишите уравнение прямой в отрезках, если:

а) а=2 , b=4; б) а=- 7 , b=5; в) а=6, b=-3; г) а=-5 , b=-4.

7. Прямая проходит через точки А и В. Напишите уравнение прямой в отрезках:

а) А(0; 2) и В(5; 0); б) А(-3; 0) и В(0;-2); в) А(0; 1) и В(-2; 0).

8. Напишите уравнение прямой в отрезках, найдите угловой коэффициент прямой, постройте эти прямые:

а) 4х – 6у+12=0; б) 2х + 3у+12=0; в) - 2х+5у -10=0; г) 5х+4у - 20=0.

9. Параллельны ли прямые:

а) и ;

б) и ;

в) и .

10. Перпендикулярны ли прямые:

а) и ;

б) и .

11. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку М параллельно данной прямой:

а) М(2;5), у=4х+3; б) М(-3;2), у=-2х+5; в) М(0;-3), у=6х - 5; г) М(4;0), у=3.

12. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку М перпендикулярно данной прямой:

а) М(4;3), у=2х+3; б) М(-5;1), у=-2х+7; в) М(2;- 5), у=5х +3; г) М(0;-5), у=3.

13. Найдите тангенс угла между прямыми:

а) 4х–6у+2=0 и 2х+4у+5=0; б) 5х–3у+8=0 и -5х+8у-7=0; в) 4х+2у=0 и 4у+5=0.

14. Найдите расстояние от точки К до прямой:

а) 2х+5у+1=0, К(2;4); б) 3х - 2у - 5=0, К(-1;-2); в) - х+2у+3=0, К(3;0).

15. Найти координаты точек пересечения прямой с осями:

а) ; б) ; в) .

16. Найдите координаты точки пересечения двух прямых:

а) и ;

б) и .

17. Определите длины сторон треугольника, если даны уравнения прямых, содержащих его стороны: , и .

2. Кривые второго порядка

Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых могут быть записаны следующим образом:

.

К числу линий второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Уравнение окружности

Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Каноническое уравнение окружности

, (20)

где - центр окружности; R – радиус окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, уравнение окружности имеет вид

.

Пример. Написать уравнение окружности радиуса R=3 с центром в точке С(1; 2). По формуле (20) имеем .

Уравнение эллипса

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами эллипса) есть величина постоянная, равная 2а.

Если ось Ох проходит через фокусы F₁ и F₂ (расстояние между фокусами обозначим 2с), а начало координат находится в середине отрезка F₁F₂ (рис. 4), то фокусы имеют координаты F₁(-с; 0) и F₂(с; 0).

По определению и формуле (7) расстояния между точками получаем уравнение эллипса

.

Эллипс пересекает оси координат в четырех точках , которые называют вершинами эллипса Отрезок А₁А₂ называется большой осью эллипса, а отрезок В₁В₂ – его малой осью. Следовательно, а – длина большой полуоси эллипса, b – длина его малой полуоси.

В результате преобразований получено каноническое уравнение эллипса

. (21)

Эксцентриситетом эллипса ε называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси.

Если , то А₁А₂ – большая ось, а В₁В₂ – малая ось эллипса и

и , F₁(- c; 0) и F₂(c; 0).

Если , то А₁А₂ – малая ось, а В₁В₂ –большая ось эллипса и

и , F₁(0; - c) и F₂(0; c).

Если a=b, то уравнение (21) принимает вид и определяет окружность с центром в начале координат . В этом случае с=0.

Пример. Привести уравнение к каноническому виду, определить параметры a, b, с и ε.

Разделим уравнение на 576 и приведем уравнение к каноническому виду . Отсюда следует, что а=8, b=6, с= , .