Тема 9. Похідна функції

1. Поняття приросту аргументу і приросту функції в точці

Нехай задана функція . Зафіксуємо деяку точку з області визначення функції . Приростом аргументу (позначається , читається «дельта ікс») називається різниця , тобто . Звідси .

Різницю – називають приростом функції.

2. Означення похідної:

Похідною функції , у точці називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля:

3. Геометричний зміст похідної:

Значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою та дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної. Отже ,

– кутовий коефіцієнт дотичної.

4. Р

   івняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою :

5. Механічний зміст похідної:

Похідна функції у точці виражає швидкість зміни функції або процесу, який ця функція описує у цій точці. Отже, якщо функція описує рух матеріальної точки, тобто залежність пройденої відстані від часу , то її похідна задає залежність швидкості матеріальної точки від часу .

6. Правила диференціювання:

1. 

   Обов`язково

   Запам`ятайте!!!

2. 

3. 

4. 

5. , c -число

7. Похідна складеної функції: =

Таблиця похідних

1) const 12) 23)

2) 13) 24)

3) ; 14) 25)

4) 15) 26)

5) 16) 27)

6) 17) 28)

7) 18) 29)

8) 19) 30)

9) 20) 31)

10) 21) 32)

11) 22) 33)

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

1) ;

2) ;

3) ;

4) . Оскільки ,тоді

5)

6)

7) ;

Знайти похідну складеної функції 8) :

8) Зверніть увагу

9)

Зверніть увагу

10) Знайти похідну складеної тригонометричної функції:

11) Знайти похідну складеної тригонометричної функції:

12) Знайти похідну функції: Зверніть увагу

;

13) Знайти похідну складеної функції:

Зверніть увагу

14) Знайти швидкість та прискорення точки, що рухається за законом:

15) Скласти рівняння дотичної до графіка функції:

Запам`ятай !

1)

2) 3) 4)

Вправи для самостійного розв’язування до теми 9: 1. Знайдіть похідну функції : 1) = 7 ⁴ – 5 ³ – 4 + 6 ; 4) ;

2) = – + ; 5) 5 ;

3) – ; 6) 8 +9 ;

7) ; 18

8) ; 19)

9) = ( + ) + ( 2 – ) ; 20)

10) = ( ² – 4 ) ( ³ + 1 ) ; 21

11) = ; 22)

12) = (5 + 4)¹⁰; 23

13) = ; 24) + ;

14) = ³ ; 25

15) = ; 26 ;

16) = ; 27

17) = ⁴ 7 ; 28) .

2.Обчисліть значення похідної функції у точці , якщо

, = 4

2) , =

2. 1 )Складіть рівняння дотичної до графіка функції ( ) = ² – 4

у точці = 2

2 )Складіть рівняння дотичної до графіка функції ( ) = ² – 4

у точці =

3. Точка рухається за законом : Знайдіть миттєву швидкість точки у момент .