3) Розв`язання показнкових рівнянь, що зводяться до квадратних рівнянь

Схема розв`язання:

1. Позбавитися числових доданків у показниках степенів.

2. Звести всі степені до однієї основи.

3. Зробити заміну змінної.

4. Розв`язати отримане рівняння.

5. Повертаючись до заміни , розв`язати найпростіше показникове

рівняння.

Приклади

Розв`язати рівняння:

1) 80. Зводимо степені до основи

2¹+ ; +2

Зробимо заміну змінної: ,

Маємо:

– не задовольняє умову

Повертаючись до заміни, маємо:

= 8

=2³

Відповідь: 3.

2

Зверніть увагу!

) + ;

+ 5 0

Зробимо заміну змінної : , .

Маємо:

^;

Повертаючись до заміни, маємо:

1. 4 ; 2) 1

2²

Відповідь: 2; 0.

ОДЗ:

3)

Зробимо заміну змінної : ,

Маємо:

)²

t₁= не задовольняє умову

t_{2 =}

Повертаючись до заміни, маємо:

=4

=4¹

Відповідь: 1.

4) Розв`язання однорідних показникових рівнянь

Рівняння виду

=0, де А,В,С - числа називається однорідним показниковим рівнянням.

Метод розв`язання: ділення лівої та правої частини рівняння на або .

Приклад. Розв`язати рівняння :

Розв`язання

– однорідне показникове рівняння

Поділимо обидві частини рівняння на ( ).

М

Зверніть увагу!

аємо:

Зробимо заміну змінної ,маємо:

( 5)² ; =1

t₁

t₂

Повертаючись до заміни , маємо:

1. , звідси .

2. 

Відповідь: 0; 1.

Вправи для самостійного розв’язування до теми 3 :

1) = ; 16) ;

2) = ; 17) + =108 ;

3) = ; 18) =24 ;

4) = 4 ; 19) 7 =16 ;

5) =16 ; 20) =104 ;

6) 0,6 = ; 21) 12 +27=0 ;

7) ; 22) +4 =5 ;

8) = 144 ; 23) ;

9) ; 24) 4 6 7=0 ;

10) =1 ; 25) +5 =14 ;

11) =8 ; 26) + =12 ;

12) =25 ; 27) ⁺¹ 3

13) ; 28) +3 4 =0 ;

14) ; 29) +2 1 3 =0 ;

15) = ; 30) 3 = 5 .

Тема 4 . Показникові нерівності.

1.Нерівність, яка містить змінну в показнику степеня, називають показниковою.

Розв`язання показникових нерівностей ґрунтується на властивостях показникової функції, а саме:

1)Функція зростає при .

2 )Функція спадає при .

При нерівність виду рівносильна

нерівності

При нерівність виду рівносильна

нерівності .

Розв`язання показникових нерівностей методом зведення обох частин до однієї основи.

П

Зверніть увагу!

риклади

1) Розв’яжіть нерівність :

Зводимо до основи 3

О скільки тобто функція є зростаючою, тоді при порівнянні показників степеня знак нерівності не змінюється.

О

тже,

Відповідь:

2) Розв’яжіть нерівність :

Зводимо до однієї основи 2, маємо:

О

скільки тоді при порівнянні показників степенів знак нерівності не змінюється.

Отже,

Відповідь:

3) Розв’яжіть нерівність :

Зводимо до однієї основи отримаємо:

Оскільки функція є спадною, тоді при порівнянні показників знак нерівності змінюється на протилежний.

О

тже,

Зверніть увагу!

Відповідь:

4) Розв’яжіть нерівність:

Запишемо праву частину нерівності у вигляді степеня з основою 0,3 , тобто

Маємо нерівність:

Оскільки , тоді при порівнянні показників степенів знак нерівності змінюється на протилежний, тобто

Зверніть увагу!

Для розв’язування одержаної квадратичної нерівності знайдемо корені квадратного рівняння та розв’яжемо нерівність методом інтервалів:

В

ідповідь:

5) Розв’яжіть нерівність:

Запишемо праву частину нерівності у вигляді степеня з основою 1,5 , тобто:

Оскільки тоді при порівнянні показників степенів знак нерівності не змінюється, тобто:

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів,

ОДЗ:

Відповідь:

6) Розв’яжіть нерівність:

У лівій частині нерівності винесемо за дужки степінь з найменшим показником

Відповідь:

7) Розв’яжіть нерівність:

Зробимо заміну змінної

Маємо:

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Для цього знайдемо корені квадратного рівняння.

( t – 3) (t – 9) ≤ 0

+ − +

3 9 t

О тже, 3 ≤ t ≤ 9

Тобто t ≥ 3; ≥ 3; ≥ ≥ 1

t ≤ 9; ≤ 9; ≤ ; ≤ 2

1 2

Відповідь:

8) Розв’яжіть нерівність: + – 8 > 0

Замість запишемо добуток ∙ 2 та зведемо до степеня

з основою 2:

+ ∙ 2 – 8 > 0

Зробимо заміну змінної:

= , > 0, тоді =

+ 2 – 8 > 0

= – 4

= 2

Розв’яжемо нерівність методом інтервалів:

( + 4) ( – 2) > 0

+ − +

− 4 2 t

В раховуючи, що > 0, маємо :

< − 4;

> 2; > 2,

> 0;

Отже, > 2

Відповідь: .