3. Основное уравнение центробежного насоса

Для вывода основного уравнения центробежного насоса рассмотрим схему движения жидкости в межлопаточном пространстве (рис. 16.2), при этом величины, относящиеся к входу на лопатку (точка 1 на рис. 16.2), будем обозначать с индексом 1, а относящиеся к выходу (точка 2 на рис. 16.2), – с индексом 2. Например, радиус на входе колеса обозначен символом R₁, а радиус на выходе – R₂ (R₂ = D/2).

Движение жидкости в межлопаточных каналах вращающегося колеса (от точки 1 к точке 2) является сложным. Его можно рассматривать как результат сложения двух движений: вращения вместе с колесом с угловой скоростью ω и перемещения относительно лопатки колеса. Поэтому в любой точке внутри колеса вектор абсолютной скорости v является суммой двух векторов: окружной скорости U и относительной скорости W качестве примера на рис. 16.2 показаны векторы скоростей на выходе с рабочего колеса (в точке 2), поэтому они обозначены с индексами 2.

На схеме также указаны углы между векторами скоростей. Причем следует иметь в виду, что угол α₂ между векторами скоростей v₂ и U₂ является величиной, изменяющейся в процессе работы насоса, а угол β₂ между векторами скоростей W₂ и U₂ – величина постоянная для данного насоса, так как он одновременно является углом между касательной к лопатке и касательной к окружности колеса. Поэтому угол β₂ – одна из важных геометрических характеристик рабочего колеса, а следовательно, и насоса.

для анализа различных аспектов работы центробежного насоса, кроме указанных скоростей, используют проекцию абсолютной скорости v₂ на направление окружной скорости U₂. Эта величина обозначена на рис. 16.2 вектором v_2U. Также используют и проекцию абсолютной скорости v₂ на направление радиуса. Эта величина обозначена на рис. 16.2 вектором v_2R.

Для вывода основного уравнения центробежного насоса сделаем следующие допущения.

1. Число лопаток бесконечно велико и они имеют бесконечно малую толщину, т.е. в межлопаточном пространстве существует струйное течение и форма всех струй совершенно одинакова, так как каждая струйка движется между двух лопаток.

2. В насосе отсутствуют все виды потерь энергии, т.е. его коэффициент полезного действия равен единице (η = 1).

На основании второго допущения приравняем потребляемую мощность насоса N_потр, равную произведению вращающего момента насоса М и его угловой скорости ω, к полезной мощности N_под пропорциональной произведению подачи насоса и его теоретического напора Н_{т ∞} (Н_{т ∞} – теоретический напор идеального насоса с бесконечным числом лопаток):

Второй математической зависимостью, используемой для вывода, является закон сохранения количества движения, записанный для вращательного движения, т.е. изменение импульса момента (Мt) равно изменению момента количества движения рабочей жидкости за время t.

Момент количества движения равен произведению вектора количества движения и радиуса. Например, если в точке 2 (рис. 16.3) находится частица жидкости массой т₀ с абсолютной скоростью v₂ то ее момент количества движения может быть вычислен по формуле

так как из геометрических соотношений следует (см. рис. 16.3).

Изменение момента количества движения найдем с учетом того, что за время t жидкость массой m уходит с рабочего колеса со скоростью v₂ и такое же количество жидкости массой m поступает в межлопаточное пространство колеса, но уже со скоростью v₁.

Тогда

или

В последней зависимости отношение массы m к времени t представляет собой массовую подачу насоса Q_m = Qρ, следовательно:

Необходимо отметить, что эта зависимость справедлива не только для центробежного, но и для других лопастных насосов. Аналогичную зависимость можно получить и для лопастного гидродвигателя (гидротурбины), если учесть, что в нем момент количества движения жидкости уменьшается.

Следует иметь в виду, что у большинства центробежных насосов жидкость подводится к рабочему колесу без предварительной закрутки и вступает в межлопаточные каналы, двигаясь радиально (см. рис. 16.3). Это значит, что угол α₁ равен 90°, а сos α₁ = 0. Кроме того, из анализа рис. 16.2 следует, что v_2U = v₂ сos α₁. Тогда зависимость (16.2) упрощается и принимает следующий вид:

Подставив (16.3) в (16.1), с учетом U₂ = ωR₂ получим зависимость для теоретического напора насоса с бесконечным числом лопаток:

Последняя зависимость носит название основного уравнения центробежного насоса, или уравнения Эйлера. Оно широко используется для анализа работы не только центробежных, но и других лопастных насосов.