4 . Переходные процессы в цепи с последовательным соединением элементов с r и l при подключении ее к источнику синусоидального напряжения

В момент включения напряжение на конденсаторе = 0.

Энергия магнитного поля катушки = 0.

i_уст находится как частное решение уравнения

i’=i_у

Свободный ток находят, решая однородное диф. уравнение:

Ток ПП в общем виде:

Постоянная времени не зависит от напряжения источника питания и определяется параметрами цепи.

До включения цепи ток в ней был =0.

i(0-)=0

i(0+)=i(0-)=0

(л.ч.: i’=i_у, пр.ч.: i”=i_св)

i_у изменяется по синусоидальному закону, а i_св уменьшается до 0 по экспоненциальному закону.

В момент включения цепи мгновенное значение токов и равны по значению, но противоположны по знаку.

В момент времени, когда токи i’ и i” совпадают по направлению, мгновенное значение тока в цепи превосходит амплитуду установившегося тока.

Начальное значение i_св зависит от начальной фазы напряжения.

Если включение цепи происходит в момент, когда начальная фаза напряжения , то начальное значение свободного тока равно амплитуде установившегося тока, т.е. имеет наибольшее из возможных значений.

При включении цепи в момент, когда или свободный ток равен 0 и в цепи сразу же устанавливается установившийся режим.

Длительность переходного процесса определяется как .

5. Переходные процесс в цепи с последовательным соединением элементов с r и с при подключении её к источнику синусоидального напряжения

Для определения установившегося режима, определим установившейся ток в цепи

«-»-так как нагрузка активно-емкостная

Так как до включения цепи конденсатор не был заряжен, то

, , следовательно:

, тогда:

Изменение напряжения на конденсаторе зависит от начальной фазы, если , то и на зажимах конденсатора сразу же устанавливается установившейся режим, при или максимально.

Общий ток:

При начальной фазе свободный ток равен 0, при или установившийся ток начинает изменяться от 0, а свободный ток имеет максимальное значение.

6. Переходные процессы в rLc цепи(последовательном контуре).

По 2 ЗК свободные напряжения во всех элементах неразветвленной цепи взаимно уравновешиваются, поэтому в последовательном контуре при отсутствии источников i=i_св, uc=u_{c св}

(Разделим на LC)

Заряд на конденсаторе удовлетворяет такому же диф. уравнению:

Дифференцируя это уравнение по времени, получаем :

Тожденственность диф. уравнений указывает на одинаковый закон изменения u_c, q, i.

Составим характеристическое уравнение.

Характер свободного процесса зависит только от параметров rLC цепи, т.е. от вида корней характеристического уравнения.

Характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения. Он и определяет будут ли корни действительными или комплексными.

> - корни дейст. разл

компл.сопряженные

7. Общий случай расчета переходных процессов классическим методом.

1) Для цепи после коммутации составляют систему ДУ по 1 и 2 закону Кирхгоффа:

С итема линейный дифференциальных уравнений:

2) Независимые начальные условия: ток на индуктивном элементе i_L(0+) после коммутации и U_c(0+) неизвестны. Они определяются из расчета режима цепи до коммутации с применением закона коммутации.

Считаем, что до коммутации был установившийся режим, при постоянной ЭДС

U_с(0-)=U_c(0+)=E i_L(0-)=i_L(0+)=0 Начальные условия: U_c(0+)=E и i_L(0+)=0

3)Запишем искомую величину в виде двух составляющих:

4) Установившеюся состовляющую найдем, рассчитав режим цепи, постоянную тока после коммутации:

(0-) ток протекает только по внешнему контуру(в установившемся режиме)

=0,

5) Составим характеристическое уравнение и найдем его корни. Они могут быть действительные, разные, равные или комплексные сопряженные.

6) Запишем свободную составляющую и пост. интегрирования, обращая внимание на вид корней.

; ;

Будем предполагать случай действительных разных корней

7) Искомое решение:

8) Для определения двух постоянных интегрирования запишем полученные решения и его производную для t=0:

,

Начальное значение тока определим из системы дифференциальных уравнений:

, ,

В этой системе уравнений величины i(0) и U_c(0) были найдены. Найдем три величины i₁(0), i₂(0) и di/dt (при t=0).

9) После определения постоянных А1 и А2, подставить их в искомое решение. Для определения других токов и напряжений не требуется заново выполнять все этапы расчета.

,