4.2. Последовательность. Предел последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

Числа называются членами последовательности, а число – общим членом последовательности.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер , что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство

.

Обозначается .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противно случае – расходящейся.

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство

.

Обозначается: б.м. .

Определение.

1. Последовательность называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство

Обозначается

2. Последовательность называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство

Обозначается

Последовательность , все члены которой отличны от нуля, - бесконечно малая тогда и только тогда, когда последовательность бесконечно большая.

Кроме того, полезно иметь в виду следующее:

1. Пусть . Тогда

2. Пусть (в том числе ), (соответственно, , в том числе ), Тогда (соответственно, ).

4.3.Предел функции

Определение. Окрестностью точки называется любой интервал с центром в точке .

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого найдется такое, что при

Это записывают так: .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при ).

Определение.

1. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого числа найдется такое число , что для всех значений выполняется неравенство .

Обозначается:

2. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого числа найдется такое число , что для всех значений выполняется неравенство .

Обозначается:

Определение.

1. Пусть функция f(x) определена в правой полуокрестности точки а, т.е. на некотором интервале , где . Тогда говорят, что число А называется пределом функции f(x) справа в точке а (или правосторонним пределом), если для любой последовательности , сходящейся к а и такой, что все ее члены больше, чем а, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Обозначается:

2. Пусть функция f(x) определена в левой полуокрестности точки а, т.е. на некотором интервале , где . Тогда говорят, что число А называется пределом функции f(x) слева в точке а (или левосторонним пределом), если для любой последовательности , сходящейся к а и такой, что все ее члены меньше, чем а, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Обозначается:

Очевидно, что существует в том и только в том случае, когда существуют и односторонние пределы и , причем все три числа равны, т.е.

= = .

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел