Раздел V. Дифференциальное исчисление Функций одной независимой переменной
5.1. Основные понятия
Определение.
Производной
функции
по аргументу x
называется
предел отношения приращения функции к
приращению независимого аргумента при
условии, что приращение аргумента
стремится к нулю. Производная функции
обозначается через
.
По
определению:
.
Определение. Операция отыскания производной заданной функции называется дифференцированием этой функции.
5.2. Таблица производных
По определению можно получить следующую таблицу формул дифференцирования элементарных функций:
-
1.
,
где
;2.
;3.
4.
;5.
6.
;7.
;8.
;9.
;10.
;11.
;13.
;14.
;15.
.
5.3. Правила дифференцирования
Пусть С постоянная, u = u(x), v=v(x) функции, имеющие производные. Тогда:
1. Производная постоянной равна нулю, то есть
2. Производная аргумента равна 1, то есть
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производного второго, то есть
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
где
5.4. Дифференцирование сложных функций
Рассмотренных
формул и правил определения производных
недостаточно для нахождения производных
функций более сложного вида, например,
таких как
и
т.д.
Пусть
y
–
есть функция от u:
,
где u–в
свою очередь функция от аргумента x:
;
в таком случае говорят, что y
есть функция от функции, т.е.
.
Если
для соответствующих друг другу значений
x
и u
существуют производные
и
то
существует и производная от y
по x,
причем имеет место равенство
.
5.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть
функция
аргумента x
задана при помощи параметрических
соотношений
причем
и
дифференцируемые
функции от t
и
,
.
Тогда
5.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
Пусть
функция
обладающая производной в точке х,
задана неявно уравнением
Тогда
производную
этой функции можно найти, продифференцировав
уравнение (2.8) (при этом у
считается функцией от х)
и разрешая затем полученное уравнение
относительно
