4.4. Непрерывность функции
Определение.
Функция
называется непрерывной
при х
=
а
(в точке а),
если:
1) функция определена в точке а и ее окрестности;
2) существует конечный предел функции в точке а;
3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е.
.
Определение. Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Определение. Точка а, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.
Если
в точке а
существуют конечные пределы
и
,
такие что
,
то а
называется точкой
разрыва первого рода.
Если в точке а
существует конечный предел
,
а
не определено или
,
то эта точка называется точкой
устранимого разрыва.
Точки разрыва первого рода функции, не
являющиеся точками устранимого разрыва,
называются точками
скачка этой
функции, при этом величина
называется скачком
функции
в точке а.
Если хотя бы один из пределов и не существует или равен бесконечности, то точку а называют точкой разрыва второго рода.
Решение типового задания.
Пример
1.
Найти
Решение.
Так
как пределы числителя и знаменателя
при
равны нулю, то мы имеем неопределенность
вида
.
«Раскроем» эту неопределенность,
разложив числитель и знаменатель на
множители и сократив их далее на общий
множитель (x+2):
Пример
2.
Найти
.
Решение.
Подстановка предельного значения
аргумента приводит к неопределенности
вида
.
Так как под знаком предела стоит отношение
двух многочленов, то разделим числитель
и знаменатель на старшую степень
аргумента, т.е. на x4.
В результате получим
поскольку
при
функции 5/x3
и 7/x4
являются бесконечно малыми.
Пример
3.
Найти
Решение. Здесь мы также имеем неопределенность вида .
Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю:
Пример
4.
Найти
Решение.
Так
как
под знаком предела, то
Пример
5.
Найти
Решение.
Задачи №91-120:
Найти пределы (не применяя правило Лопиталя):
|
91. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
92. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
93. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
94. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
95 |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
96. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
97. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
98. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
99. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
100. |
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
101.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
102.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
103.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
104.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
105.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
106.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
107.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
108.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
109.
а) |
б) |
||||||
в) |
г)
|
||||||
110.
а) |
б) |
||||||
в) |
г)
|
||||||
111.
а)
|
б) |
||||||
в)
|
г)
|
||||||
112.
а)
|
б)
|
||||||
в) |
г) |
||||||
113.
а) |
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
114.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
115.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
116.
а)
|
б)
|
||||||
в) |
г)
|
||||||
117.
а) |
б) |
||||||
в)
|
г)
|
||||||
118.
а) |
б) |
||||||
в)
|
г)
|
||||||
119.
а)
|
б) |
||||||
в)
|
г)
|
||||||
120.
а)
|
б)
|
||||||
в)
|
г)
|
||||||
