Решение типового задания.
Даны
координаты вершин пирамиды:
Вычислить:
1) объем пирамиды;
2)
длину ребра
;
3)
площадь грани
;
4)
угол между ребрами
и
.
Решение:
1)
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
.
Найдем
векторы
,
и
,
совпадающие с ребрами пирамиды,
сходящимися в вершине А:
,
,
.
Находим смешанное произведение этих векторов:
.
Так
как объем пирамиды равен 1/6 объема
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
и
,
то
(куб. ед.).
2.
Длина ребра вычисляется по формуле:
.
3.
Площадь треугольника АВС
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
поэтому находим векторное произведение
этих векторов:
.
Следовательно,
(кв.
ед.).
4.
Угол между ребрами
и
вычисляется по формуле:
Задачи №61-90:
Даны
координаты вершин пирамиды
.
Вычислить: 1) объем пирамиды;
2) длину ребра ;
3) площадь грани ;
4) угол между ребрами и .
Координаты вершин пирамиды для соответствующих номеров задач следующие:
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
Раздел IV. Функции. Пределы. Непрерывность функций
4.1. Функция. Основные понятия
Определение. Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у из Y, то говорят, что на множестве Х задана функция (или отображение) со множеством значений Y.
Это
можно записать так:
или
,
где множество Х
называется
областью
определения
функции (D(f)),
а множество Y,
состоящее из всех чисел вида
,
множеством
значений функции
(E(f)).
Определение.
Графиком
функции
называется множество точек
плоскости
,
координаты которых удовлетворяют
функциональной зависимости
.
Определение.
1.
Функция называется четной,
если множество D(f)
симметрично относительно нуля и для
любого
справедливо равенство
График четной функции симметричен
относительно оси
2.
Функция называется нечетной,
если множество D(f)
симметрично относительно нуля и для
любого
справедливо равенство
График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.
Определение.
Функция
называется периодической, если существует
число
что для любого
справедливы условия:
1)
2)
Число
называется периодом
функции
.
Определение.
Если
функция
определена
на области D,
G
– ее область значений, функция
определена
на области G,
то функция
называется
сложной
функцией.
Функцию
называют
композицией
двух функций
и
.
Сложная
функция может быть композицией большего
числа функций: трех, четырех и т.д.
Например, функция
– композиция двух функций
и
функция
композиция
трех функций
.
К основным элементарным функциям относятся:
1)
степенная функция y
=
,
где
;
2)
показательная функция y
= ax,
где
;
3)
логарифмическая функция y
=
,
где
;
4)
тригонометрические функции:
,
;
5)
обратные тригонометрические функции:
y
=
arccosx,
y
=
arctgx,
y
=
arcctgx.
Определение.
Функция
называется неубывающей (невозрастающей)
на множестве
,
если для любых значений
таких, что
справедливо неравенство
(соответственно,
).
Определение. Функция называется монотонной, если она невозрастающая или неубывающая.
Определение.
Функция
называется возрастающей
(убывающей)
на множестве
,
если для любых значений
таких, что
справедливо неравенство
(соответственно,
).
Определение. Функция называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая.