3.3. Действия над векторами, заданными своими координатами
Пусть
даны векторы
и
:
1) при сложении векторов их одноименные координаты складываются
или
;
2) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число
или
,
где
.
Определение.
Два вектора
и
называются равными,
если выполняются равенства
.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат
,
где
.
Если
известны координаты начала А(х1,
у1,
z1)
и конца B(х2,
у2,
z2)
вектора
,
то его координаты определяются
.
Длину вектора, заданного координатами начала и конца, вычисляют по формуле
.
3.4. Скалярное произведение
Определение.
Скалярным
произведением
векторов
и
называется
число, равное произведению их длин на
косинус угла между ними:
или
.
Свойства скалярного произведения:
10.
– переместительный закон;
20.
– распределительный закон;
30.
– сочетательный закон, где
;
40
скалярное произведение равно нулю тогда
и только тогда, когда векторы
и
перпендикулярны, т.е.
;
50.
скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины:
.
Пусть
даны два вектора
и
.
По свойствам 40
и 50
имеем
;
.
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат
.
Условие
перпендикулярности двух ненулевых
векторов
и
:
.
Косинус угла между векторами определяется по формуле:
.
Проекция вектора на направление, заданное вектором , вычисляется по формуле
.
3.5. Векторное произведение
Определение.
Векторным
произведением
вектора
на вектор
называют такой вектор
,
который строится по следующему правилу
(рис. 2):
1)
вектор
перпендикулярен векторам
и
и направлен таким образом, что кратчайший
поворот от
к
виден из его конца совершающимся против
часовой стрелки;
2)
длина вектора
равна произведению длин векторов
и
на синус угла
между ними:
.
Рис. 2
Векторное
произведение
и
обозначается
.
Свойства векторного произведения:
10.
=
(т.е.
векторное произведение не обладает
переместительным свойством).
20.
,
если
,
либо
,
либо
ǀǀ
(коллинеарность ненулевых векторов).
30.
,
где
(сочетательное свойство по отношению
к скалярному множителю).
40.
(распределительное свойство).
Модуль
векторного произведения двух неколлинеарных
векторов
и
равен площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.
Векторные
произведения координатных ортов
,
,
:
,
;
;
.
Пусть
векторы
и
заданы своими координатами:
,
.
Тогда векторное произведение удобнее
находить по формуле
.
3.6. Смешанное произведение
Определение.
Смешанным
произведением
векторов
,
и
называется скалярное произведение
вектора
на вектор
,
т.е.
.
Смешанное произведение трех векторов , и по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Свойства смешанного произведения:
10. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:
а) хоть один из перемножаемых векторов равен нулю;
б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;
в) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарность).
20.
Смешанное произведение не изменяется,
если в нем поменять местами знаки
векторного
и скалярного
умножения, т.е.
.
В силу этого свойства смешанное
произведение векторов
,
и
будем записывать в виде
.
30. Смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке:
.
40. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак:
;
;
.
Пусть
векторы
,
и
заданы своими координатами:
,
,
.
Тогда смешанное произведение
равно определителю третьего порядка,
составленному из координат векторов
,
и
:
.
Из свойств смешанного произведения трех векторов вытекает следующее:
1)
необходимым и достаточным условием
компланарности трех векторов служит
условие
;
2)
объем V1
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
и
,
и объем V2
образованной ими треугольной пирамиды
находятся по формулам:
,
.