Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы: получение навыков по решению дифференциальных уравнений различными методами.

Порядок выполнения работы

Для заданных дифференциальных уравнений найти решения при различных начальных условиях и различных правых частях методами:

• преобразований Лапласа;

• Эйлера (численно с переходом к уравнениям в конечных разностях);

• одним из численных методов, реализованным в виде процедуры Mathcad, например, с помощью блока Given и функции odesolve(t,Тк[n]).

Если выбранный метод не позволяет получить решение, перейти к следующему методу или следующей задаче.

Теоретические сведения

1. Решение с помощью обратного преобразования Лапласа

Последовательность решения:

• записать дифференциальное уравнение в преобразованиях Лапласа с учетом начальных условий, для этого необходимо выполнить преобразование Лапласа отдельно для левой и правой частей уравнения, например, уравнение

= k sin(t)

в преобразованиях Лапласа будет иметь вид

TsY(s) - Ty(0) + Y(s)=k/( );

• выразить в явном виде Y(s) из полученного выражения:

^;

• выполнить обратное преобразование Лапласа, используя необходимые упрощающие условные обозначения, например, y(0)=y0; если функция-изображение громоздкая, обратное преобразование можно выполнять по частям для отдельных слагаемых или групп слагаемых; результат обратного преобразования Лапласа – искомая функция y(t);

• для построения графика функции (рис. 7) необходимо задать значения параметров уравнения и упростить полученное выражение:

Рис. 7. График решения

2. Приближенное численное решение

Последовательность решения:

• заменить производные в дифференциальном уравнении отношением конечных разностей:

,

^,

;

• из полученного уравнения выразить функцию с максимальным индексом через остальные составляющие, задать значения переменным и интервал изменения индекса (количество определяемых точек):

;

• построить график (рис. 8):

Рис. 8. График решения

3. Решение с помощью блока Given и функции odesolve

Последовательность решения:

• записать все исходные параметры уравнения:

;

• записать начало блока Given;

• записать дифференциальное уравнение и начальные условия, причем, знак равенство используется из логических операций, знак дифференцирования (штрих) для записи начальных условий – в левом верхнем углу клавиатуры:

,

,

;

• записать функцию odesolve в виде

z:= odesolve(t, p,[n]),

где t – переменная интегрирования,

p – верхний предел изменения t (нижний равен 0),

n – число точек, определяющее шаг приближенного интегрирования (n = p/t). Если число точек не задано – шаг выбирается автоматически из условия допустимой погрешности;

• построить график функции (рис. 9):

Рис. 9. График решения

Пример выполнения

Решить уравнение

(1)

при конкретных значениях параметров Т₁, Т₂, k₀ и начальных условиях , .

1. Решение дифференциального уравнения с помощью преобразований Лапласа

Выполним преобразования Лапласа для правой части уравнения (1) с использованием функции laplace (индексы постоянных времени Т, коэффициента k и начальных значений y, вводятся как подстрочники)

^.

Левую часть уравнения (2.1) в преобразованиях Лапласа запишем самостоятельно и тогда полное уравнение примет вид:

,

_{где Y – изображение функции y(t) в преобразованиях Лапласа.}

Выражаем отсюда Y, (отмечаем переменную Y курсором и выбираем пункт меню Символика/ Переменная/ Решить):

Для простоты примем начальные условия нулевыми,

^,

тогда Y в преобразованиях Лапласа будет равно:

.

Выполняем обратные преобразования Лапласа от полученного выражения и присваиваем полученный результат функции y(t). Задаем значения коэффициентов и строим график функции (рис. 10).

Рис. 10. График решения