Пример выполнения

1. Аналитическое решение систем неоднородных дифференциальных уравнений (формула Коши)

Решим систему дифференциальных уравнений, записанную в матричном виде: .

Присвоим начальному индексу массивов значение 1:

Зададим следующие начальные условия: .

Сформируем матрицы коэффициентов уравнения:

.

Управляющее воздействие задано в виде

.

Решение будем искать в виде

,

или

^,

где

_.

Вектор решения будет равен

_.

_{Построим графики функции для каждого из элементов X(t)1 и X(t)2 полученного вектора Х(t) (см. рис. 12).}

Рис. 12. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений

2. Решение систем дифференциальных уравнений численными методами в среде Mathcad

Решим методом Рунге-Кутта исходную систему дифференциальных уравнений, записанную в виде:

,

,

для следующих начальных условий:

.

_{Присвоим начальному индексу массивов значение 1.}

_{Сформируем вектор правых частей системы дифференциальных уравнений:}

_.

_{Сформируем вектор начальных условий:}

_.

_{Запишем обращение к функции rkfixed:}

.

_{Результат работы функции – матрица Xrk (таблица) значений, первый столбец которой содержит значения времени, второй искомые значения x1(t), третий – x2(t).}

Для построения графика функций (рис. 13) предварительно зададим интервал изменения индекса: .

Рис. 13. Сравнение численного решения методом Рунге-Кутта (штрихи) и аналитического (сплошные линии) решения системы дифференциальных уравнений

Решим ту же систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с адаптивным шагом.

Вектор правых частей уравнения и вектор начальных условий уже сформированы выше в примере решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

_{Вызов функции rkadapt:}

.

Результат работы функции – матрица X_rkа (таблица) значений, первый столбец которой содержит значения времени, второй искомые значения x₁(t), третий – x₂(t). Выведем таблицу и построим графики аналитического и численного решения методом Рунге-Кутта с адаптивным шагом.

Решим ту же систему дифференциальных уравнений методом Булирша-Штера. Вектор правых частей уравнения и вектор начальных условий уже сформированы выше в примере решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

_{Вызов функции Bulstoer:}

_{Результат работы функции – матрица Xrkb (таблица) значений, первый столбец которой содержит значения времени,} второй – искомые значения x₁(t), третий – x₂(t). Выведем таблицу и построим графики аналитического и численного решения методом Булирша-Штера.

3. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальному виду

Приведем дифференциальное уравнение к системе нормальных дифференциальных уравнений:

.

Введем замену:

x(t)=x₁(t),

_,

.

Тогда

_,

.

Приводим к нормальному виду:

_,

.

В матричном виде эта система уравнений запишется как

или

.

4. Приведение матричного уравнения к новым координатам

Решим систему дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Задаем исходные данные:

_.

Так как матрица А недиагональная, то приведем систему дифференциальных уравнений к новым координатам. Решение будем искать в виде

^.

Определяем собственные значения матрицы А (вектор l) и формируем матрицу L:

.

Находим матрицу Т, а затем и матрицу L, обратную T:

.

Выполняем проверку:

.

Находим значения матрицы :

и подынтегрального выражения :

^.

Находим функции y(t) и x(t):

^.

Строим график (рис. 14).

Рис. 14. Решение с помощью приведения системы дифференциальных уравнений к новым координатам