3. Динамика

3.1 Аксиомы динамики 

В динамике рассматривается движение материальных точек или тел под действием приложенных сил; устанавливается связь между приложенными силами и вызываемым ими движением. Динамика основывается на ряде вытекающих из опыта аксиом; некоторые из них были рассмотрены в статике.

Если на точку действует неуравновешенная система сил, точка имеет некоторое ускорение. Связь между действующей на точку силой и ускорением, вызываемым этой силой, устанавливается основной аксиомой динамики, которая заключается в следующем.

Ускорение а, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой F, имеет направление силы и по значению пропорционально ей (рис. а):

или в скалярной форме

ma=F

Коэффициент m, входящий в основное уравнение динамики, имеет очень важное физическое значение. Он представляет собой массу материальной точки.

Если решить уравнение   относительно ускорения, получим:

a=F/m

т. е. чем больше масса, тем большая сила потребуется для сообщения телу определенного значения ускорения. Таким образом, масса материальной точки является мерой ее «инертности». Из уравнения  находим массу:

m=F/a

Если это уравнение применить к материальной точке, находящейся под действием силы тяжести G, получим

m=G/g

где g — ускорение свободного падения.

Масса пропорциональна силе тяжести тела и представляет собой постоянную скалярную величину, которая всегда положительна и не зависит от характера движения.

В динамике используют также аксиому независимости действия сил, устанавливающую, что при действии на материальную точку нескольких сил ускорение, получаемое точкой, будет таким же, как при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил (рис. б),

т. е.

где  - равнодействующая системы сил, приложенных к рассматриваемой точке.

Рассмотрим системы единиц и их взаимосвязь. В Международной системе единиц (СИ) за основные единицы принимают единицу длины — метр (м), единицу времени — секунду (с) и единицу массы — килограмм (кг). Производной является единица силы. Если в формуле F = mа принять m = 1 кг, а = 1 м/с?, то получим единицу силы — ньютон (Н), который способен сообщить массе в 1 кг ускорение 1 м/с?,

Иногда возникает необходимость перейти от единиц одной системы к единицам другой системы. Сила тяжести, пропорциональная 1 кг массы, выраженная в ньютонах (Н), соответственно составит:

но в те же время она составляет одну килограмм - силу.

Итак, килограмм - сила эквивалентна 9,81 Н, т. е. 1 кгс = 9,81 Н или 1 Н = 0,102 кгс или приближенно 1 Н ? 0,1 кгс.

На основе аксиoм динамики можно решить следующие две основные задачи.

Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по заданному движению материальной точки определить силы, действующие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения приходится использовать аксиому независимости действия сил.

Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным силам определить движение точки. Здесь также приходится использовать основной закон динамики. Из этого закона ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки.

3.2 Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

Пусть на материальную точку М действует некоторая система сил  .

Среди сил могут быть активные силы и реакции связей.

На основании аксиомы независимости действия сил точка М под действием этих сил получит такое же ускорение, как если бы на нее действовала лишь одна сила, равная геометрической сумме заданных сил,

где а — ускорение точки М; m — масса точки М  ; — равнодействующая системы сил.

Перенесем вектор, стоящий в левой части уравнения, в правую часть. После этого получим сумму векторов, равную нулю,

Введем обозначение  тогда приведенное уравнение можно представить в виде:

Таким образом, все силы, включая силу  , должны уравновешиваться, так как силы  и   равны между собой и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Сила  , равная произведению массы точки на ее ускорение, но направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции.

Из последнего уравнения следует, что в каждый данный момент времени силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются силами инерции. Приведенный вывод называют началом Д'Аламбера. Он может быть применен не только к материальной точке, но и к твердому телу или к системе тел. В последнем случае он формулируется следующим образом: если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел, приложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии.

Следует подчеркнуть, что силы инерции действительно существуют, но приложены не к движущемуся телу, а к тем телам, которые вызывают ускоренное движение.

Применение начала Д'Аламбера позволяет при решении динамических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики.

Рассмотрим, как определяется сила инерции материальной точки в различных случаях ее движения.

1. Точка М массой m движется прямолинейно с ускорением (рис. а, б).

При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле:

При ускоренном движении (рис. а) направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении (рис. б), когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

2. Точка М движется криволинейно и неравномерно (рис. в).

При этом, как известно из предыдущего, ее ускорение может быть разложено на нормальную аn и касательную atсоставляющие. Аналогично сила инерции точки также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаимно перпендикулярны, полная сила инерции:

3.3 Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению, а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила F.

За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С1 по прямолинейной траектории на расстояние s.

Работа W постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на расстояние s и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения, т. е.

Угол ? между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При ? < 90° работа положительна, при ? > 90° — отрицательна, при ? = 90° W = 0 (работа равна нулю).

Еcли cила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, ее работа всегда положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивления воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, противоположную движению.

Когда ? = 0, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, W = Fs, так как cos ? = 1. Произведение F cos ? есть проекция силы F на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силы F на направление движения точки.

За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж), равный работе силы в один ньютон (Н) на совпадающем с ней по направлению движения длиной в один метр (м):  . Применяется также более крупная единица работы — килоджоуль (кДж), 1 кДж = 1000 Дж = 10?Дж. В технической системе (МКГСС) за единицу работы принят килограмм-сила метр (кгс*м).

3.4 Работа силы на криволинейном перемещении

При криволинейном движении формулой  пользоваться нельзя. В этом случае пользуются понятием элементарной работы на бесконечно малом участке нути ds,

который можно считать прямолинейным,

где v — скорость точки, совпадающая по направлению с элементарным перемещением.

Интегрируя или суммируя элементарные работы на конечном отрезке пути, получаем полную работу:

Используем эту формулу для вычисления работы силы тяжести. Пусть некоторая точка, сила тяжести которой G, переместилась по криволинейной траектории из точки С1 в точку С2, опустившись на высоту Н

. 

Из рисунка следует, что  представляет собой проекцию элементарного перемещения на направление силы G, т. е.

Формула для работы принимает вид:

Вынося из-под знака суммы постоянную величину — силу тяжести тела G — и учитывая, что сумма элементарных перемещений вдоль оси у равна полной высоте перемещения тела  , получаем:

т. е. работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на вертикальное перемещение ее точки приложения. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой перемещается центр тяжести тела.

3.5 Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность  силы F за время ?t на перемещении ?s, с которым сила образует угол ?, определяется по формуле

Переходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем истинную мощность:

Как было указано, F cos ? является проекцией силы на направление движения материальной точки. Обозначив F cos ? через  , получим:

так как

Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,

3.6 Работа и мощность при вращательном движении

Часто встречаются детали машин, вращающиеся вокруг неподвижных осей. Причиной вращательного движения является приложенный к телу вращающий момент относительно оси, который создается парой сил или силой F

и определяется по формуле

При повороте тела на малый угол d? работа совершается силой F, точка приложения которой перемещается из положения С1 в положение С2. Полное перемещение точки приложения силы равно длине дуги радиусом R:

Так как сила F все время направлена по касательной к перемещению s, то совершаемая ею работа определится как произведение силы на перемещение:

Произведение силы на радиус определяет вращающий момент, т. е.  . Учитывая это, окончательно находим dW = М d?. Интегрируя, получим:

Работа вращающего момента равна произведению момента на угол поворота.

Определим мощность при вращательном движении

Мощность при вращательном движении тела равна произведению вращающего момента (момента пары) на угловую скорость.

Подставив в выражение мощности значение угловой скорости, выраженной через частоту вращения (об/мин) получим

откуда

При данной мощности двигателя максимальный вращающий момент, который двигатель способен развить, можно изменить путем варьирования частоты вращения. Уменьшая частоту вращения, увеличивают вращающий момент и, наоборот, увеличивая частоту вращения, вращающий момент уменьшают.

3.7 Понятие о трении

При движении друг относительно друга двух соприкасающихся тел по поверхности их соприкосновения возникает касательная реакция, препятствующая движению.

Она называется силой внешнего трения  и направлена в сторону, противоположную движению.

Трение в машинах играет существенную роль. В передаточных механизмах — фрикционных, канатных, ременных и др. — передача движения от ведущего звена к ведомому осуществляется трением. В других случаях трение препятствует движению, поглощая значительную часть работы движущих сил.

В зависимости от вида относительного движения соприкасающихся тел различают трение скольжения итрение качения.

Основную зависимость для силы трения скольжения можно выразить формулой

где f — коэффициент пропорциональности, или коэффициент трения скольжения, зависящий от рода трущихся тел и физического состояния контактирующих поверхностей; F — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Таким образом, сила трения прямо пропорциональна нормальному давлению и направлена в сторону, противоположную относительной скорости движения.

Из формулы   находим значение коэффициента трения скольжения

где   — нормальная реакция.

Коэффициент трения скольжения f является безразмерной величиной.

Обозначив суммарную реакцию сил  и  через  и угол между суммарной и нормальной реакцией через р, находим, что коэффициент трения скольжения f является отношением противолежащего катета   к прилежащему   в прямоугольном треугольнике и определяется как тангенс угла р, т. е.

Угол р называется углом трения, следовательно, коэффициент трения скольжения численно равен тангенсу угла трения.

Если вокруг оси, перпендикулярной к опорной плоскости, путем вращения вектора полной реакции образовать поверхность кругового конуса,

то получим так называемый конус трения с углом при вершине, равным двойному углу трения 2р.

Если воздействовать на тело силой  , расположенной внутри конуса трения, то как бы ни была велика эта сила, она не сможет вывести тело из состояния равновесия. Это явление носит название самоторможения.

Сопротивление трения качения возникает при перекатывании криволинейных поверхностей контактирующихся тел.

При перекатывании цилиндра по горизонтальной опорной поверхности в зоне их контакта создаются силы реакции. Эти силы распределены неравномерно. Их величина больше там, где происходит смятие при перекатывании цилиндра (участок СВ) и меньше в зоне разъединения (участок АС). Вследствие этого нормальная реакция  , являющаяся равнодействующей всех сил реакций, смещается в сторону движения катящегося тела.

Смещение k от линии действия силы тяжести цилиндра численно определяет коэффициент трения качения, который обозначается через fk и измеряется в миллиметрах.

Представим себе, что к цилиндру на некотором расстоянии h над плоскостью качения приложена сила F, под действием которой цилиндр равномерно катится по опорной плоскости. Составим сумму моментов относительно точки С всех сил, действующих на цилиндр,

(где fk — коэффициент трения качения), откуда при Rn = G

Очевидно, что коэффициент трения качения fk имеет размерность длины.

3.8 Коэффициент полезного действия(КПД)

Создавая машину, важно не только обеспечить движение рабочих органов машины, удовлетворяющих заданному технологическому процессу, но необходимо, чтобы машина обладала достаточно высоким коэффициентом полезного действия (к. п. д.).

При наличии сил трения и сопротивления воздуха не вся затраченная работа  используется в машинах или механических устройствах. Полезная работа  всегда меньше затраченной, т. е.  их отношение определяет важнейшую технико-экономическую характеристику — к. п. д.

При установившемся движении рабочих органов машины сумма работ всех сил, приложенных к ним, будет равна нулю, т. е.

(где  — работа вредных сопротивлений), откуда

Получаем:

Так как работа вредных сопротивлений  в машине никогда не может быть равна нулю,  то и ?<1.

Следовательно, для увеличения к. п. д. необходимо стремиться к уменьшению вредных сопротивлений, тогда к. п. д. будет стремиться к единице.

3.9 Закон изменения количества движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость,

Вектор количества движения по направлению совпадает со скоростью. Количество движения материальной точки можно спроектировать на координатные оси. Проекцией на ось х будет mvx, проекцией на ось у — mvy, проекцией на ось z — mvz.

Единица измерения количества движения в Международной системе единиц (СИ)

[q] = [mv] = [m] [v] = кг*м/с

Импульсом постоянной Силы называется вектор, равный произведению силы на время ее действия и имеющий направление силы:

где t1 и t2 — конечнsй и начальный моменты времени.

Единица измерения импульса силы в Международной системе единиц (СИ) равна единице количества движения:

[S] = [Ft] [t] = H*c = кг*м/с

Установим закон изменения количества движения для случая, когда точка C движется прямолинейно под действием постоянной силы.

Согласно основному уравнению динамики, ускорение точки при этом — постоянно, и точка движется равнопеременно.

Скорость точки С в произвольный момент времени определяем по формуле равнопеременного движения

откуда

Подставим найденное значение ускорения в основной закон динамики:

Учитывая, что произведение Ft является импульсом действующей силы, окончательно имеем

Следовательно, алгебраическое приращение количества движения материальной точки при прямолинейном движении за время t= t2—t1 равно импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.

3.10 Моменты инерции некоторых однородных тел

Момент инерции массы любого тела

Установим единицу измерения момента инерции:

[J] = [m] [r?] = кг*м?

Приведем формулу (без выводов) для вычисления моментов инерции простейших тел относительно некоторых осей.

1. Для однородного стержня относительно оси z, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его конец (рис. а),

где m — масса стержня; l — длина стержня.

Для однородного стержня относительно оси z0 (рис. а), проходящей через его центр тяжести,

2. Для однородного цилиндра (рис. б)

где m — масса цилиндра; D — диаметр цилиндра.

3. Для окружности или тонкого кольца, если пренебречь его толщиной (рис. в),

3.11 Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела

Определим зависимость между приложенными к вращающемуся телу силами и сообщаемым ему угловым ускорением ?.

Рассмотрим элементарную частицу тела dm и приложим к ней нормальную и касательную составляющие силы инерции. Приложив силы инерции ко всем частицам тела, получим уравновешенную систему сил. Применим к этой системе уравнения равновесия. Алгебраическую сумму вращающихся моментов внешних сил  относительно оси вращения у обозначим 

Нормальные силы инерции пересекают ось вращения и не создают относительно нее момента. Касательные силы инерции создают моменты относительно оси вращения. Плечом касательной силы инерции  каждой точки является соответствующий радиус ri.

Направление суммарного момента этих сил противоположно направлению углового ускорения ? и вращающего момента  , так как касательная сила инерции любой точки направлена противоположно ее касательному ускорению. Значение касательной силы инерции точек вращающего тела определяется по формуле:

Составим уравнение моментов относительно оси вращения у:

откуда

Подставив значение  , получим

Вынесем значение углового ускорения за знак суммы как величину, одинаковую для всех точек тела, получим:

Множитель при — знакомая нам величина; это момент инерции тела относительно оси у:

Окончательно получим:

Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения. Из уравнения  следует, что

Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определенного углового ускорения. Поэтому момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном движении аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.

3.12 Динамика (формулы)

Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): .

Дифференциальные уравнения движения материальной точки: ,

; . –

– дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки, его общее решение:

x=f(t,C₁,C₂), начальные условия: t=0, x=x₀, =V_x=V₀.

Свободные колебания ; c/m=k², ; x= C₁coskt + C₂sinkt,

= – kC₁sinkt + kC₂coskt, С₁= х₀, С₂= /k, т.е. x= х₀coskt + ( /k)sinkt.

С₁=Аsin, C₂=Acos, x=Asin(kt+) – гармонические колебания, А= амплитуда, tg=kx₀/ ,  – начальная фаза свободных колебаний; – собственная частота колебаний; период Т=2/k. Статическое отклонение _ст=Р/с. Т=2 .

Затухающие колебания R_x= – b сила сопротивления, , b/m=2n, , характеристическое уравнение: z² + 2nz + k²= 0, его корни:

z_1,2= . а) n<k ,

x=Ae^-ntsin(kt+). , ;

частота затухающих колебаний: k^*= ;

период: . – декремент колебаний;

–nT^*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение n  k . При n > k: , обозначая С₁=(В₁+В₂)/2, С₂=(В₁-В₂)/2, . При n = k: , ,

Вынужденные колебания: возмущающая сила: Q = Hsin(pt+), р – частота возмущающей силы,  – начальная фаза. , h=Н/m, .

х = х^*+х^**. х^*= C₁coskt + C₂sinkt, х^**= Asin(рt+).

– количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – теорема об изменении количества движ. матер. точки в дифф. форме или . – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д. - момент количества движения матер.

точки относительно центра О.

Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. . Если М_О= 0,  =const. =const,

где – секторная скорость.

Элементарная работа dA = F_ds, F_ – проекция силы на касательную к траектории, или dA = Fdscos. dA= – скалярное произведение; dA= F_xdx+F_ydy+F_zdz.

Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁:

. Если F=const, то = Fscos. , .

Работа силы тяжести: . A>0, если М₀ выше М₁.

Работа силы упругости: .

Работа силы трения: , F_тр=fN.

Сила притяжения (тяготения): , k=gR².

Работа силы тяготения: .

Мощность . Если N=const, то N=A/t.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В дифференциальной форме: . – кинетическая энергия материальной точки.

В конечном виде: . , U=U(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n) – силовой функцией.

Элементарная работа сил поля: А=А_i= dU.

Работа сил на конечном перемещении .

Потенциальная энергия – П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А_1,2= П₁– П₂.

Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz.

Потенциальная энергия поля центральных сил.

Центральная сила – , .

Гравитационная сила , , f = 6,6710^-11м³/(кгс²) – постоянная тяготения.

Первая космическая скорость v₁=  7,9 км/с, R = 6,3710⁶м – радиус Земли; вторая космическая скорость: v₁₁=  11,2 км/с.

Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружин: ,  – модуль приращения длины пружины.

Работа восстанавливающей силы пружины: .

Динамика материальной системы и твердого тела

Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д.

Дифф-ные ур-ния движения системы матер.точек: или в проекциях на оси координат: и т.д. для каждой точки (тела) системы.

Момент инерции матер.точки: mh².

Момент инерции тела: J_z= m_kh_k². При непрерывном распределении масс: J_x= (y²+z²)dm; J_y= (z²+x²)dm; J_z= (x²+y²)dm. J_z= M²,  – радиус инерции тела.

Полярный момент инерции J_o= ( x²+y²+z²)dm; J_x+J_y+J_z= 2J_o.

Центробежный момент инерции: J_xy=xy dm; J_yz=yz dm; J_zx=zx dm. J_xy=J_yx

Тензор инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня: ; .

Сплошной диск: .

Полый цилиндр: , цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч):

.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: . Момент инерции относительно произвольной оси: J = J_xcos² + J_ycos² + J_zcos² – 2J_xycoscos – 2J_yzcoscos – 2J_zxcoscos, если координатные оси – главные, то: J = J_xcos² + J_ycos² + J_zcos².

Теорема о движении центра масс системы:

. дифференциальное уравнение движения центра масс: .

Закон сохранения движения центра масс.

Если  , если при этом в начальный момент v_Cx0= 0, то   x_C= const.

Количество движения системы .

Теорема об изменении количества движения системы: , проекциях: . Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме: . – импульсы внешних сил.

В проекциях: Q_1x – Q_0x = S^e_kx.

Закон сохранения количества движения:  = const, в проекциях:  Q_x= const. Дифференциальное уравнение движения точки переменной массы: – уравнение Мещерского,

– реактивная сила, секундный расход топлива, . Формула Циолковского: . – число Циолковского, m₀ – стартовая масса ракеты.

Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент) .

Теорема об изменении кинетического момента: ; .

Закон сохранения кинетического момента: если , то .

Кинетический момент вращающегося тела K_z = J_z. Если M_z= 0, то J_z = const.

Кинетическая энергия системы .

Т = Т_к. Поступательное движение: Т_пост= .

Вращательное: Т_вр= .

Плоскопараллельное (плоское): Т_пл= + , v_C – скорость центра масс.

Теорема Кенига: Т= + .

Работа момента: .

Мощность: N=M_z.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме:

dT = , в конечной форме: Т₂ – Т₁= . Для неизменяемой системы и Т₂ – Т₁= .

Коэффициент полезного действия: ,

= N_маш/N_дв.

Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.

Дифференциальные уравнения поступательного движения тела: и т.д.

Дифф-ные уравнения вращения тела вокруг неподвижной оси: , _.

1) если = 0, то  = const; 2) = const, то  = const.

Уравнение вращательного движения физического маятника: , , дифференциальное уравнение колебаний маятника: , sin  ,

тогда – дифференциально уравнение гармонических колебаний.

Решение этого уравнения:  = С₁coskt + C₂ sinkt или  = sin(kt + ). Период малых колебаний физического маятника Т= 2/k = 2 .

Для математического маятника: , L= – приведенная длина физического маятника.

Дифф. урав-ния плоского движения тела: ; ; .

— принцип Даламбера для материальной точки.

Сила инерции: , знак (–) означает, что сила инерции против ускорения.

Для системы добавляется уравнение: .

– главный вектор сил инерции, – главный момент сил инерции.

, — уравнения кинетостатики.

Главный вектор сил инерции .

Главный момент сил инерции при плоском движении: , при вращении вокруг оси z: .

Определение реакций при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Центробежная сила инерции , вращательная .

и , , .

,

,

,

, – центробежные моменты инерции, .

Уравнения равновесия кинетостатики:

,

,

,

,

,

.

Условия отсутствия динамических составляющих:

, , , ,

откуда x_C= 0, y_C= 0, J_yz= 0, J_zx= 0.

Основы аналитической механики

Принцип возможных перемещений:

; .

Общее уравнение динамики .

Уравнения Лагранжа 2-го рода: , (i=1,2…s), s – число степеней свободы; q_i – обобщенная координата; – обобщенная скорость,

Т = Т(q₁,q₂,…,q_S, , … ,t) – кинетическая энергия; Q_i – обобщенная сила.

. , П = П(q₁,q₂,…,q_S,t) – потенциальная энергия.

Функция Лагранжа: L = T – П, – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях – квадратичная форма обобщенных скоростей, a_ij= a_ji – коэффициенты инерции.