2.2 Уравнение движения точки

В общем случае точка может двигаться по криволинейной траектории. Для изучения криволинейного движения точки необходимо уметь определить ее положение в назначенной системе отсчета (системе координат) в любой момент времени.

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения. Наиболее удобный способ задания движения точки — естественный способ. При этом задается траектория точки (графически или аналитически) и закон движения точки по траектории.

Пусть произвольная точка А перемещается по заданной траектории (рис.а). Принимая точку 0 за начало отсчета, уравнение движения можно представить в виде

s = f (t), где s — расстояние точки А от начала отсчета; t — время.

Положение движущейся в плоскости точки (рис.б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, x и у являются некоторыми функциями времени и определяют движение точки:

Такой способ задания движения точки называется координатным. С помощью уравнений движения  можно найти траекторию точки. Для этого из них нужно исключить параметр — время t — и найти зависимость между координатами точки у = f (х).

2.3 Скорость точки

Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называется равномерным.

Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени v = s/t

Скорость измеряется в единицах длины, деленных на единицу времени: м/с, см/с, км/ч и т. д.; 1 км/ч = 0,278 м/с, 1 м/с = = 3,6 км/ч.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называется неравномерным.

Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени v = f (t).  Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траектории по некоторому закону  s = f (t) (рис.а).

За промежуток времени t точка М переместится в положение М1 по дуге ММ1. Если промежуток времени t мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движения точки

 

Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке M1. Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при t—»О

При t—»О направление хорды в пределе совпадает с направлением касательной к траектории в точке М, т. е. значение скорости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление (рис.б):

2.4 Ускорение точки

При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Пусть точка М (рис.а) движется по какой-то криволинейной траектории и за время t переходит из положения М в положение M1. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ1; ее длину обозначим s. В положении М точка имела скорость v, в положении M1 — скорость v1. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор v1.

Скорость точки при перемещении ее из положения М в положение M1 изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение скорости можно найти, разделив вектор приращения скорости v на соответствующее время движения:

Переходя к пределу при t—»О получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости:

 

 

Найденное ускорение характеризует изменение численного значения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскладывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касательной и нормали к траектории движения (рис.б)

Касательная составляющая  совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости:

Нормальная составляющая  перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяется по формуле:

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Составляющие  и  взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускоренияопределяется по формуле: