2.9 Кинематические графики и связь между ними

Часто для наглядного представления движения точки пользуются графиками перемещения, скорости и ускорения в функции от времени в прямоугольных координатных осях.

Рассмотрим кинематические графики для равномерного движения. Независимо от того, является оно прямолинейным или криволинейным, мы имеем для него следующие уравнения:

Из этих уравнений следует, что график перемещения равномерного движения является прямой, отсекающей на оси ординат величину s0, т. е. величину перемещения точки в начале движения от начала отсчета (рис.а).

График скорости изображается прямой линией, параллельной оси абсцисс, так как скорость равномерного движения точки — постоянная величина v = const (рис.б).

Рассмотрим кинематические графики для равнопеременного движения. Каким бы ни было это движение — прямолинейным или криволинейным, — для него справедливы уравнения:

График перемещения равнопеременного движения является криволинейным — параболическим, так как он соответствует уравнению параболы (рис. а, б).

На оси ординат эти графики отсекают при t = О величины, соответствующие расстоянию в начале движения от начала отсчета s0.

График скорости изображается прямой, наклоненной к оси абсцисс (рис. в, г), и отсекает на оси ординат (при t = 0) величину начальной скорости v0.

График ускорения равномерно-переменного движения изображается линией, параллельной оси абсцисс (оси времени) — (рис. д, е.)

При равномерно-ускоренном движении график ускорения располагаем выше оси абсцисс. При равномерно-замедленном движении — ниже (рис. е). При равномерно-замедленном движении значение скорости убывает. Это наглядно видно из (рис. г). Возможен случай, когда скорость, уменьшаясь, достигает нулевого значения (точка М на рис. г). Затем скорость изменяет свой знак и по абсолютному значению начинает увеличиваться. Здесь по существу происходит переход равномерно-замедленного движения в равномерно-ускоренное. Именно такое явление и происходит для случая, изображенного на (рис. б, д) при t = tA, т. е. при изменении алгебраического знака скорости.

Между кинематическими графиками существует определенная взаимосвязь. Так, для равномерного движения график скорости изображается линией, параллельной оси абсцисс, а график расстояния — прямой наклонной линией. Для равнопеременного движения график ускорения является прямой, параллельной оси абсцисс, график скорости — наклонная прямая, а график расстояний — параболическая кривая. Эта взаимосвязь графиков следует непосредственно из дифференциальных зависимостей, связывающих ускорение, скорость и расстояние:

Учитывая аналогию в уравнениях движения точки и уравнениях вращения тела, графическую интерпретацию можно использовать при исследовании вращательного движения, являющегося основным в технике. Здесь вместо расстояния будет фигурировать угол поворота, вместо скорости — угловая скорость, вместо ускорения — угловое ускорение.

2.10 Понятие о плоскопараллельном движении твердого тела

В случае плоскопараллельного движения все точки тела, расположенные на прямой, перпендикулярной к определенной неподвижной плоскости I (рис. 1),

рис. 1

совершают одинаковое движение. Поэтому изучение плоскопараллельного движения твердого тела может быть сведено к изучению движения плоской фигуры, образованной сечением тела плоскостью II, параллельной неподвижной плоскости I, при условии, что расстояние между плоскостями I и II постоянно.

Примером плоскопараллельного движения могут служить движение шатуна кривошипно-шатунного механизма, движение колеса на прямолинейном участке пути и др.

Рассмотрим перемещение плоской фигуры на (рис. 2) из положения I в положение II.

рис. 2

Положение плоской фигуры на (рис. 2. а) определяется отрезком M1B1. Этот отрезок можно переместить из положения I в положение II следующим образом: перенести его параллельно самому себе в положение М2В'2(при этом фигура совершит поступательное перемещение), а затем повернуть отрезок вокруг точки М2 против часовой стрелки на угол ? (фигура при этом совершит вращательное движение и займет положение II). Можно поступить иначе: сначала сообщить фигуре поступательное перемещение до положения отрезка В2М'2, а затем повернуть вокруг точки В2 против часовой стрелки опять на угол ?.

Точку, вокруг которой фигура совершает поворот, называют полюсом. В первом случае полюсом была точка М2, во втором — В2. Очевидно, что за полюс может быть принята произвольная точка фигуры.

Итак, плоскопараллельное движение можно разложить на два составляющих движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное вокруг этого полюса. Поступательная часть плоскопараллельного движения зависит от выбора полюса. Как видно из (рис. 2. а), поступательное перемещение М1М2 при выборе за полюс точки М2 не равно поступательному перемещению В1В2 при выборе за полюс точки В2.

Рассматривая вращательную часть плоскопараллельного движения, нетрудно установить, что угол поворота не зависит от выбора полюса.

Разложение плоскопараллельного движения можно использовать для определения скоростей точек тела. Так как плоскопараллельное движение фигуры может быть представлено как сумма двух движений — поступательного и вращательного, то скорость любой точки тела (рис. 2, б) равна геометрической сумме: скорости  движения полюса М и скорости вращательного движения  вокруг полюса М

Скорость вращательного движения определяется по формуле:

где — угловая скорость вращения; MB— радиус вращения точки В относительного полюса М.

Скорость вращательного движения направлена перпендикулярно к радиусу вращения MB. Так как вращательная часть движения не зависит от выбора полюса, то угловая скорость ? называется угловой скоростью плоской фигуры.

В плоскости движущейся фигуры при плоскопараллельном движении в данный момент времени всегда есть точка, скорость которой равна нулю. Действительно, примем за полюс точку В (рис. 2, в), восстановим из нее перпендикуляр к вектору скорости  и отложим на этом перпендикуляре отрезок  в сторону, где относительные вращательные скорости направлены противоположно скорости выбранного полюса . Абсолютная скорость точки С определится как геометрическая сумма двух равных и противоположно направленных векторов: скорости поступательного движения  и скорости вращательного движения  , причем:

Таким образом, абсолютная скорость точки С равна нулю. Эта точка С называется мгновенным центром скорости или мгновенным центром вращения плоской фигуры. Если эту точку С принять за полюс, то скорость произвольной точки М (рис. 2, в) определится по формуле:

но   т. е. скорость любой точки плоской фигуры определяется как вращательная относительно мгновенного центра скоростей.