2.11 Кинематика (формулы)

s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).

Координатный способ: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t).

Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.

Векторный способ: радиус-вектор = , модуль , направляющие косинусы: и т.д.

Переход от координатного способа к естественному: .

Скорость точки. Вектор скорости: ; .

Проекции скорости: , , .

Модуль скорости: , направляющие косинусы: и т.д.

Естественный способ: , , – орт касательной.

Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, =(t) – угол.

Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости .; x=rcos, y=rsin.

Ускорение точки. .

Проекции уск.-я: и т.д.

Модуль уск.-я: , направляющ. косинусы: , и т.д.

Проекции уск. на радиальное напр-ние , поперечное напр-ние , модуль уск-я . .

Модуль нормального ускорения: ,  – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения ,  ,  .

Прямолинейное движение: = , а_n=0, a=a_.

Равномерное криволинейное движение: v=const, a_=0, a=a_n. s=s₀+vt, при s₀=0 v=s/t.

Равномерное прямолинейное движение: а=a_=a_n=0.

4) Равнопеременное криволинейное движение: a_=const, v=v₀+a_t, .

Угловая скорость: , .

Угловое ускорение тела: .

Равномерное вращение: =const, =t, =/t,

равнопеременное вращение: =₀+t; .

Скорости и ускорения точек вращающегося тела: .

v=rsin() = (CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения.

Формулы Эйлера: ,

v_x=_yz – _zy; v_y=_zx – _xz; v_z=_xy – _yx.

Если ось вращения совпадает с осью z, то v_x= – y; v_y=x.

Ускорение: .

Вращательное уск. , а^вр=rsin, центростремительное уск. , а^ц=²R.

Полное ускорение: .

Угол, между полным и центростремительным ускорениями: .

Плоское движение твердого тела.

Уравнения плоского движения: x_A= f₁(t), y_A= f₂(t),  = f₃(t), Скорость ; , v_BA= BA, v_Acos = v_Bcos.

Мгновенный центр ск-ей – Р: . , .

Ускорения: ,

. , , , .

Мгновенный центр уск-ий – Q; , , .

Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения: =f₁(t); =f₂(t); =f₃(t)  – угол прецессии,  – угол нутации,  – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловое ускорение: .

Скорости точек при сферич. движ.: , модуль v=rsin=h, h– расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Формулы Эйлера: .

Ускорения: , вращательное ускорение модуль вращат. уск. а^вр=rsin=h₁, h₁– расст. от точки до вектора , осестремительное ускорение , а^ос=²h.

Движение свободного тв.тела.

Уравнения движ.св.тв.тела: x_A=f₁(t); y_A=f₂(t); z_A=f₃(t); =f₄(t); =f₅(t); =f₆(t) (углы Эйлера).

Скорость точки св.тв.тела: .

Ускорение точки св.тв. тела: .

Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:

, ;

, ;

; ; ,

, .

Теорема о сложении ускорений -

теорема Кориолиса:

и т.д.

1) ;

2)

3) ;

4) ,

; ; .

. , ; а_с= 2|_ev_r|sin(_e^{^}v_r).

Сложное движение тверд. тела.

Правило параллелограмма угловых ск-ей: .

.

Угл. ск-сть. прецессии , угл. ск-сть нутации ,

угл. ск. собственного вращ-ия . , – кинематические уравнения Эйлера.

Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

1)Вращения направлены в одну сторону. =₂+₁, ,

.

2) Вращения направлены в разные стороны. ,

 = ₂—₁, .

3) Пара вращений ; v_A=v_B, v=₁AB – момент пары угловых скоростей.

Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и =const, то h= =const, . Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

1)Вращения направлены в одну сторону. =₂+₁, ,

.

2) Вращения направлены в разные стороны. ,

 = ₂—₁, .

3) Пара вращений ; v_A=v_B, v=₁AB – момент пары угловых скоростей.

Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и =const, то h= =const, .