Ответы - Искусственные небесные тела
Тяжесть и тяготение
Согласно закону всемирного тяготения, на поверхности сфероидального небесного тела с массой M и радиусом R гравитационное ускорение*
(92)
а на поверхности Земли то же ускорение
откуда, поделив первое равенство (92) на второе, получим:
(93)
где обязательно
Μ выражается в массах Земли и R — в
радиусах Земли, а
—
относительное гравитационное ускорение
в сравнении с земным.
В поле тяготения небесного тела на произвольном расстоянии от него гравитационное ускорение
или, учитывая равенство (92),
(94)
В этой формуле r и R могут быть выражены в любых, но обязательно одинаковых единицах длины.
* Ослабление g вращением тела здесь не рассматривается.
Пример 1. Найти гравитационное ускорение, сообщаемое Юпитером своему второму спутнику Европе, находящемуся от планеты на среднем расстоянии 670,9·103 км. Масса Юпитера в 318 раз больше земной массы, а средний радиус Земли равен 6371 км.
Данные: спутник, r = 670,9·103 км; Юпитер, M = 318; Земля, R0=6371 км
Решение. По формулам (94) и (93) искомое ускорение
где go = 981 см/с2 — ускорение свободного падения на земной поверхности.
Тогда
причем r выраженов радиусах Земли, а масса Μ — в массах Земли, т. е. в тех же единицах измерения, что и в формуле (93).
Поскольку средний радиус Земли R0=6371 км, то искомое гравитационноеускорение
Задача 222. Определить ускорение свободного падения на поверхности планет Марса и Венеры, а также астероида Цереры. Массы и радиусы в сравнении с земными: у Марса —0,107 и 0,533, у Венеры —0,815 и 0,950, у Цереры— 28,9 · 10-5 и 0,0784.
Задача 223. Масса Луны в 81,3 раза, а диаметр в 3,67 раза меньше земных. Во сколько раз вес космонавтов был меньше на Луне, чем на Земле?
Задача 224. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности Солнца и Сатурна, радиусы которых больше земного соответственно в 109,1 и 9,08 раза, а средняя плотность в сравнении с земной составляет 0,255 и 0,127?
Задача 225. Какое ускорение свободного падения было бы на поверхности Земли и Марса, если бы при неизменной массе их диаметры увеличились вдвое и втрое? Сведения о Марсе см. в задаче 222.
Задача 226. Как изменилось бы ускорение свободного падения на поверхности планеты при увеличении ее массы в т раз, а средней плотности в n раз и, в частности, при m = n?
Задача 227. Каким стало бы ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если бы при той же массе оно увеличилось в диаметре до размеров земной орбиты? Масса Солнца в 333 тыс. раз больше земной, а его диаметр равен 1 392 000 км.
Задача 228. По данным предыдущей задачи найти гравигационное ускорение Земли в поле тяготения Солнца, сравнить его с полученным в ней результатом и сделать соответствующий вывод.
Задача 229. Как изменилось бы ускорение свободного падения на Земле при неизменной массе и увеличении ее размеров в 60.3 раза, т. е. до орбиты Луны?
Задача 230. Вычислить гравитационное ускорение Луны в поле тяготения Земли и Солнца при ее среднем геоцентрическом расстоянии в 384 400 км. Сравнить результаты с ответом предыдущей задачи и проанализировать их. Необходимые сведения заимствовать из задачи 227.
Задача 231. Как изменилось бы гравитационное ускорение Луны в поле тяготения Земли, если бы масса Земли увеличилась в m раз, а Луна находилась в n раз дальше (ближе), чем сейчас, и, в частности, при m=n?
Задача 232. В каких пределах меняется гравитационное ускорение Меркурия ( а = 0,387 а. е. и e = 0,206), Плутона (а = 39,5 а. е. и е = 0,253) и кометы Галлея (а = 18,0 а. е. и e = 0,967)? В скобках приведены данные об орбитах этих тел. Недостающие сведения заимствовать из задачи 227.
Задача 233. В каких пределах меняется гравитационное ускорение спутника связи «Молния-3», выведенного на орбиту 14 апреля 1975 г. и облетающего Землю в пределах высоты от 636 км до 40 660 км над земной поверхностью? Радиус Земли — 6370 км.
Задача 234. Решить предыдущую задачу для космической научной станции «Прогноз-3», выведенной 15 февраля 1973 г. на геоцентрическую орбиту с большой полуосью в 106 670 км и высотой перигея 590 км.
Задача 235. Найти гравитационное ускорение двух галиле-евых спутников Юпитера, Ио и Каллисто, обращающихся вокруг планеты на средних расстояниях в 5,92 и 26,41 ее радиуса. Масса Юпитера равна 318, а радиус — 10,9.
Задача 236. Указать расположение общего центра масс Земли и Луны, приняв радиус Земли 6370 км, массу Луны равной 1/81 земной массы и расстояние между телами — 60 земным радиусам.
Задача 237. По данным задачи 236 найти положение точки равного притяжения между Землей и Луной, в которой гравитационные ускорения от этих тел численно равны между собой, но противоположно направлены.