Ответы - Расстояния, размеры и вращение тел Солнечной системы
Закон всемирного тяготения и задача двух тел
В частном случае задачи двух тел рассматривается движение тела меньшей массы т относительно тела большей массы М, принимаемого за неподвижное и называемого центральным телом.
Линейная скорость v движущегося тела относительно центрального определяется интегралом энергии
(61)
где μ=G(Μ+m), а — большая полуось орбиты тела меньшей массы, r — радиус-вектор того же тела, G — гравитационная постоянная.
Если масса т движущегося тела пренебрежимо мала в сравнении с массой Μ центрального тела, то задача двух тел называется ограниченной и тогда μ = GΜ.
Согласно интегралу энергии, чтобы тело меньшей массы обращалось вокруг центрального тела по круговой орбите (эксцентриситет е=0) радиусом r=а, оно должно на этом расстоянии иметь скорость
(62)
называемую круговой скоростью. Как средняя скорость движения тела она может быть также подсчитана по периоду обращения Τ и большой полуоси а орбиты тела:
(40)
Если движущееся тело на расстоянии r от центрального тела имеет скорость
(63)
то орбитой будет парабола (е=1, а=∞). Поэтому скорость vп называется параболической.
Если v>vп, то движущееся тело пройдет мимо центрального тела по гиперболе (e>1).
В каждой точке орбиты с радиус-вектором r скорость тела
(64)
Точка эллиптической орбиты, ближайшая к центральному телу, называется перицентром, а наиболее удаленная от него—апоцентром. Эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, и некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:
Центральное тело |
Греческое название |
Наименование перицентра |
Наименование апоцентра |
Солнце |
Гелиос |
перигелий |
афелий |
Земля |
Гея |
перигей |
апогей |
Венера |
Геспер |
перигесперий |
апогесперий |
Марс |
Арес |
периарий |
апоарий |
Сатурн |
Кронос |
перикроний |
апокроний |
Луна |
Селена |
периселений |
апоселений |
В перицентре, при r = q = а(1—е), тело-спутник обладает наибольшей скоростью
(65)
а в апоцентре, при r = Q = a (1 + e), — наименьшей скоростью
(66)
Скорость небесных тел всегда выражается в км/с, а расстояния могут быть заданы в астрономических единицах, километрах или радиусах центрального тела. Поэтому в формулы (64), (65) и (66) необходимо подставлять значения расстояний в одинаковых единицах измерения.
В поле тяготения Солнца, на произвольном от него расстоянии r, выраженном в астрономических единицах (а. е.), круговая скорость
(67)
Если расстояния r заданы в километрах, а масса центрального тела выражена в массах Земли, то круговая скорость
(68)
Наконец, при измерении масс в массах Земли и расстояний в радиусах Земли круговая скорость
(69)
Средняя или круговая скорость va тела, обращающегося вокруг центрального тела по эллиптической орбите с большой полуосью а, также вычисляется по формулам (67), (68) и (69) подстановкой в них r=а.
Подстановка в формулы (68) и (69) r = R (радиус небесного тела) дает значение круговой скорости wк у поверхности этого тела, называемой в космонавтике первой космической скоростью. Вторая космическая скорость Wп—Wк√2. Очевидно, что
(70)
где r отсчитывается от центра небесного тела и выражается в его радиусах.
Третий обобщенный закон Кеплера
(71)
применим к любым системам тел с массами m1 и m2, обращающихся с периодами Т1 и Т2 вокруг своих центральных тел (с массами M1 и М2) по эллиптическим орбитам, большие полуоси которых соответственно равны а1 и а2.
Массы планет и их спутников выражаются обычно в массах Земли (реже — в массах Солнца, в тоннах и килограммах), большие полуоси орбит — в астрономических единицах или в километрах, а периоды обращения— в годах и сутках, а иногда — в часах и минутах.
При вычислениях по формуле (71) выбор системы единиц не имеет значения, лишь бы однородные величины были выражены в одинаковых единицах. Если же этот закон используется в виде
(72)
то решение задач проводится обязательно в определенной системе единиц, так как в разных системах численное значение гравитационной постоянной различно.
Если периоды обращения заданы в земных средних сутках, расстояния — в километрах и массы тел — в массах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид
Т2 (М+m) = 132,7 · 10-16а3. (73)
Пример 1. Комета Галлея прошла в 1910 г. свой перигелий на гелиоцентрическом расстоянии 0,587 а. е. со скоростью 54,52 км/с, а комета Икейи — Секи в 1965 г. — на перигельном расстоянии 0,0083 а.е. со скоростью 480 км/с. По каким орбитам двигались эти кометы и когда они возвратятся к Солнцу?
Данные: комета Галлея, q = 0,587 а.е., vq = = 54,52 км/с; комета Икейи —Секи, q = 0,0083 а. е., vq = 480 км/с.
Решение. Чтобы определить род орбиты, необходимо подсчитать круговую νк и параболическую vп скорость кометы относительно Солнца на заданных расстояниях q от него и сопоставить вычисленные скорости с действительными.
Комета Галлея. Согласно формуле (67), на расстоянии q = 0,587 а.е. круговая скорость
а по формуле (63) параболическая скорость
Поскольку vк<vq<vп и в то же время uq близка к vп, то комета Галлея обращается вокруг Солнца по очень вытянутой эллиптической орбите, большая полуось которой вычисляется по формулам (64) и (67).
Положив в формуле (64) r=q, найдем
По формуле (67) круговая скорость кометы равна
Подставив эту формулу в предыдущее выражение, получим:
Откуда
По формуле (35) эксцентриситет орбиты
По третьему закону Кеплера (39) период обращения кометы
T = a√a=18√18≈76 лет.
Следовательно, комета Галлея снова вернется к Солнцу и будет видна в 1986 г.
Комета Икейи-Секи. На расстоянии r = q = 0,0083 а. е. круговая скорость
и параболическая скорость
vп=vк√2=327·1.41 = 461 км/с<!--[endif]-->
т. е. скорость кометы в перигелии vq>vп; комета прошла вблизи Солнца но гиперболической орбите и больше к нему не вернется.
Пример 2. Для астероида Икара найти среднюю скорость, скорость в перигелии, в афелии и в точке орбиты с истинной аномалией 90°, а также круговую и параболическую скорость на тех же расстояниях от Солнца. Большая полуось и эксцентриситет орбиты Икара равны 1,078 а. е. и 0,826.
Данные: Икар, а = 1,078 а.е., е = 0,826, θ=90°.
Решение. По формулам (34), (35) и (36) находим гелиоцентрические расстояния:
при θ=90°
q=1,078 (1—0,826) =0,188 а. е.,
Q= 1,078 (1+0,826) = 1,968 а. е.
по (67), (65) и (66), круговая скорость планеты
va=29,8 /√1,078=28,7 км/с
скорость в перигелии
vq=28,7 √(1,968/0,188) = 93,0 км/с
и скорость в афелии
По формуле (64) скорость при θ=90°
На расстоянии q = 0,188 а.е., согласно формулам (67) и (63), круговая скорость
vкq=29,8/√0,188 = 68,7 км/с
и параболическая скорость
vпq = 68,7 · 1,41 =96,9 км/с,
Т. е. vкq<vq<vпq
На расстоянии Q= 1,968 а. е.
vкQ=29,8/√1,968=21,2
и
vпQ = 21,2·1,41·29,9 км/с,
т. е. VQ<VкQ<vпQ.
На расстоянии r=0,342 а. е.
vкr=29,8/√0,342=50,8 км/с
и vпr = 50,8· 1,41 = 71,6 км/с,
Т. е. vкr<vr<vпr
Пример 3. Найти массу Юпитера по движению его спутника Ио, обращающегося вокруг планеты с периодом в 1д,769 по круговой орбите на расстоянии в 421,6 · 103 км.
Данные: спутник, T=1д,769, α=421,6·103 км.
Решeние. Формула (73) дает
Пример 4. Вычислить первую и вторую космическую скорость на Юпитере, круговую и параболическую скорость па расстояниях в 3 и 8 его радиусов от поверхности, а также скорость его первого спутника Ио, обращающегося по круговой орбите радиусом 421,6·103 км. Масса Юпитера равна 318 масс Земли, а средний радиус—10,9 радиуса Земли.
Данные: Юпитер, М=318, R=10,9;
расстояния: 3R и 8R от поверхности, или от центра планеты r1 = 4R и r2=9R;
спутник Ио, T=1д,769, α=421,6·103 км.
Решение. По формуле (69), первая космическая скорость
и вторая космическая скорость, по (63),
wп = wк √2 = 42,7 · 1,41 = 60,2 км/с.
По формулам (70), круговая скорость на различных расстояниях
vк1 = wк/√r1=42,7/√4 = 21,4 км/с
И
vк2 = wк/√r2 = 42,7/√9 = 14,2 км/с,
а параболическая скорость
vп1 = wп/√r1 = 60,2/√4 = 30,1 км/с
и
vп2 = wп/√r2=60,2/√9 = 20,1 км/с.
Согласно формуле (68), скорость спутника Ио
Задача 170. Чему равна круговая и параболическая скорость относительно Солнца на средних расстояниях Венеры (0,723 а. е.), Земли (1,00 а. е.), Юпитера (5,20 а. е.) и Плутона (39,5 а. е.)? По общим результатам найти и объяснить найденную закономерность. Расстояния планет от Солнца указаны в скобках.
Задача 171. Вычислить скорость малых планет Ахиллеса и Гектора в перигелии и афелии, если их круговая скорость близка к 13,1 км/с, а эксцентриситеты орбит соответственно равны 0,148 и 0,024. Примерно на каком среднем гелиоцентрическом расстоянии находятся эти планеты?
Задача 172. Большая полуось и эксцентриситет op-биты Меркурия равны 0,387 а. е. и 0,206, а орбиты Марса — 1,524 а. е. и 0,093. Найти среднюю скорость этих планет, их скорость в перигелии и в афелии.
Задача 173. Считая орбиты планет круговыми и лежащими в плоскости эклиптики, найти лучевую скорость Меркурия, Венеры и Марса во время их основных конфигураций. Необходимые для решения данные заимствовать из задач 170 и 172. (Лучевой скоростью называется проекция пространственной скорости на луч зрения наблюдателя, т. е. в данном случае на направление от Земли к планете.)
Задача 174. Вычислить скорость астероидов Лидии и Адониса на их среднем, перигелыюм и афелийном расстояниях, а также круговую и параболическую скорость на этих расстояниях. Большая полуось и эксцентриситет орбиты первого астероида равны 2,73 а. е. и 0,078, а второго— 1,97 а. е. и 0,778.
Задача 175. На каких гелиоцентрических расстояниях скорость Меркурия равна 56,1 км/с и 41,7 км/с? Большая полуось орбиты планеты 0,387 а. е.
Задача 176. С какой скоростью относительно Солнца проходил Марс в эпоху великого противостояния при геоцентрическом расстоянии в 57,15·106 км? Сопоставить эту скорость с круговой и параболической скоростью на том же расстоянии от Солнца. Большая полуось орбиты Марса равна 1,524 а. е.
Задача 177. Решить предыдущую задачу для астероида Эрота, если он в эпоху великого противостояния проходил свой перигелий 23 января 1975 г. на расстоянии 22,59·106 км от Земли. Период обращения Эрота вокруг Солнца равен 1,760 года.
Задача 178. На каком расстоянии от Солнца прошла комета, если ее скорость на этом расстоянии равнялась 65 км/с и комета двигалась по параболической орбите?
Задача 179. Комета 1931 IV прошла свой перигелий на расстоянии 0,07 а. е. от Солнца со скоростью 160 км/с, а комета 1945 II —на расстоянии 1,24 а. е. со скоростью 36,5 км/с. Определить род орбит, по которым двигались эти кометы и установить, вернутся ли они к Солнцу и когда именно.
Задача 180. Синодический период обращения астероида Колхиды равен 1,298 года, а его скорость в перигелии — 20,48 км/с. Чему равны сидерический период обращения астероида, большая полуось и эксцентриситет его орбиты, перйгельное и афелийное расстояния, а также скорость на среднем гелиоцентрическом расстоянии и в афелии?
Задача 181. Эксцентриситет орбиты астероида Узбекистании равен 0,092, а его скорость в афелии— 15,21 км/с. Найти большую полуось орбиты астероида, его звездный и синодический периоды обращения, скорость в перигелии и при истинной аномалии в 30, 90 и 120°.
Задача 182. Определить массу Марса в массах Земли по движению его спутника Деймоса, находящегося от планеты на среднем расстоянии в 23,5·103 км и обращающегося вокруг Марса за 1,26 сут. Период обращения Луны вокруг Земли равен 27,32 сут и большая полуось лунной орбиты —384,4·103 км.
Задача 183. Узнать массу Урана по движению его четвертого спутника Оберона, обращающегося вокруг планеты за 13,46 сут на среднем расстоянии в 587 тыс. км.
Задача 184. По параметрам обращения Земли вычислить массу Солнца в земных массах.
Задача 185. Определить сидерические периоды и среднюю скорость спутников Сатурна, Мимада и Фебы, обращающихся вокруг планеты на средних расстояниях, соответственно 185,4·103 км и 12960·103 км. Масса Сатурна в 95,2 раза превышает массу Земли.
Задача 186. По данным предыдущей задачи вычислить скорость тех же спутников Сатурна в перикронии и апокро-нии, а также круговую и параболическую скорость на указанных расстояниях от Сатурна. Эксцентриситеты орбит спутников в той же последовательности равны 0,020 и 0,166.
Задача 187. Найти большую полуось орбит и среднюю скорость спутников Юпитера Ио и Каллисто, обращающихся вокруг планеты с периодами соответственно в 1д,769 и 16д,689. Масса Юпитера в 318 раз больше массы Земли.
Задача 188. Как должна измениться масса центрального тела, чтобы у его спутника среднее расстояние увеличилось в k раз, а период обращения в n раз и, в частности, при k=n?
Задача 189. Какой должна быть масса Солнца, чтобы Земля обращалась вокруг него с современным периодом, но на вдвое большем расстоянии? Как изменятся при этом периоды обращения Марса и Сатурна, если их расстояния останутся неизменными? Современные периоды обращения этих планет— 1,881 года и 29,46 года.
Задача 190. Определить гипотетический период обращения Луны вокруг Земли при условии, что масса Земли возросла бы в четыре раза, а Луна оказалась на вдвое большем расстоянии. Современный период обращения Луны равен 27д,32.
Задача 191. Вычислить круговую и параболическую скорость на поверхности Земли и на расстояниях в 1, 8 и 59,3 ее радиуса от поверхности.
Задача 192. Среднее геоцентрическое расстояние Лупы — 384 400 км, а средний эксцентриситет ее орбиты — 0,0549. Найти среднюю, перигейиую и апогейную скорости Луны и сопоставить их с результатами предыдущей задачи.
Задача 193. Чему равна круговая и параболическая скорость на поверхности Солнца и на расстоянии трех и восьми радиусов от его поверхности? Масса Солнца в 333 000 раз превышает массу Земли, а его радиус равен 109,1 земного.
Задача 194. Определить круговую и параболическую скорость на поверхности Луны, Венеры и Марса. Массы и радиусы этих тел в земных параметрах: Луны 0,0123 и 0,272, Венеры 0,815 и 0,950 и Марса 0,107 и 0,533.