Ответы - Закон всемирного тяготения и задача двух тел

Искусственные небесные тела

При запуске искусственных небесных тел им сообщается начальная скорость (скорость запуска) vн зависящая от рассчитанной орбиты. Начальная скорость сообщается космическим двигателем на некоторой высоте h_н над поверхностью центрального тела (вокруг которого запускается спутник), г. е. от его центра на расстоянии

r=R+h_н,        (74)

где R — средний радиус этого тела. В частности, при запуске вокруг Земли R = 6371 км ~ 6370 км, что следует иметь в виду при решении задач этого раздела.

Форма и размеры эллиптической орбиты искусственного спутника определяются целями запуска (рис. 8).

 

Рис. 8. Эллиптическая орбита искусственного спутника

Центр центрального тела является одним из фокусов орбиты, а ее большая полуось

причем перицентрическое расстояние

q = R+h_q               (76)

и апоцентрическое расстояние

Q = R+h_Q,             (77)

где h_q — наименьшая высота (высота перицентра) и h_Q — наибольшая высота (высота апоцентра) искусственного спутника над поверхностью тела. Для искусственных спутников и орбитальных кораблей Земли h_q — высота перигея, h_Q — высота апогея, q — перигейное расстояние и Q — апогейное расстояние.

Эксцентриситет орбиты определяется формулой (35).

Скорость искусственных небесных тел обычно выражается в км/с и вычисляется по формулам (40), (64) — (66)   и (68) — (70).

Периоды обращения искусственных спутников принято измерять в минутах, а их расстояния—в километрах, и поэтому третий закон Кеплера имеет вид

(78) 

или

(79)

и

(80)

где M — масса центрального тела, выраженная в массах Земли.

По параметрам обращения искусственного спутника можно вычислить массу центрального тела.

Продолжительность полета искусственных спутников над полушарием центрального тела, расположенным под перицентром орбиты   (перицентрийное полушарие),

(81)

где Τ — период обращения спутника и е — эксцентриситет его орбиты.

Над противоположным (апоцентрийным) полушарием спутник пролетает за интервал времени

τ=T—t.  (82)

Формулы (75) — (82) вполне применимы и к движению естественных спутников планет.

В полете с одной планеты к другой межпланетная станция (межпланетный корабль) становится спутником Солнца и движется в его поле тяготения по законам движения планет. Простейшей траекторией полета является полуэллиптическая, вершины (апсиды) которой касаются орбит планеты запуска (с нее производится запуск) и планеты сближения (к ней направляется станция). Пренебрегая в первом приближении наклонением и эллиптичностью планетных орбит, можно проводить расчеты по значениям их больших полуосей a1 (планеты запуска) и a2 (планеты сближения), заданных в астрономических единицах (а. е.).

При полете к верхней планете (рис. 9) запуск станции осуществляется на ее перигельном расстоянии

q=a₁       (83)

в прямом направлении; афелийное же расстояние станции

Q=a₂.     (84)

 

Рис. 9. Простейшая орбита межпланетного корабля

При направлении станции к нижней планете q = a₂ и

Большая полуось а гелиоцентрической орбиты межпланетной станции вычисляется по формуле (37), эксцентриситет орбиты — по формуле (35), а продолжительность полета, выраженная в годах,

(85)

где а — в астрономических единицах. При необходимости Δt переводится в сутки.

Гелиоцентрическая скорость полета станции дается формулами (41), (64), (65) и (66). При запуске к верхней планете начальная гелиоцентрическая скорость V_н = V_q а при запуске к нижней планете V_н = V_Q причем в эту скорость V_н входит орбитальная (в рассматриваемом здесь простейшем случае—круговая)   скорость   V₁ планеты запуска. Следовательно, чтобы межпланетная станция вышла на расчетную гелиоцентрическую орбиту, необходимо сообщить ей дополнительную скорость

V_д = V_н - V₁              (86)

Но, чтобы покинуть планету запуска, станция должна еще преодолеть ее притяжение, на что требуется кинетическая энергия ,

где т — масса станции и w_п — вторая космическая (критическая) скорость на поверхности этой планеты. Поэтому скорость запуска vн станции с планеты, называемая также начальной планетоцентрической скоростью, найдется из равенства

откуда

        (87)

День запуска t₁ межпланетной станции не может быть произвольным и выбирается по подходящей конфигурации Δλ₂ планеты сближения Ρ (см. рис. 9), иначе станция придет в намеченный район встречи либо раньше, либо позже планеты. У планеты сближения с сидерическим периодом обращения Т₂ среднее суточное движение.

и за найденную по формуле (85) продолжительность полета станции Δt (выраженную в сутках) планета должна прийти в район встречи A, пройдя по своей орбите путь

Следовательно, в день t₁ старта межпланетной станции разность гелиоцентрической долготы планеты сближения (l₂) и планеты запуска (l₁) должна быть

l₂- l₁ = 180°—L₂ = 180° — ω₂Δt         (88)

и по этой разности нетрудно найти в астрономическом календаре-ежегоднике на текущий год подходящий день l₁. В этот день расстояние между планетами

(89)

а конфигурация Δλ₂ планеты сближения вычисляется либо из равенства

(90)

либо по формуле

(91)

Легко видеть, что при L₂ < 180° найденная элонгация будет западной, а при L₂ > 180° — восточной.

Очевидно, межпланетная станция подойдет к планете сближения в день t₂ = t₁ + Δt.

Пример 1. Запущенный 19 апреля 1973 г. в Советском Союзе искусственный спутник «Интеркосмос— Коперник-500» предназначен для исследования рентгеновского излучения Солнца и верхних слоев земной атмосферы в пределах от 200 до 1550 км над земной поверхностью. Определить параметры движения спутника.

Данные: спутник, h_q=200 км, h_Q=1550 км; Земля, R = 6370 км, M = 1.

Решение. По формуле (75) большая полуось орбиты спутника

а по (76) и (77) его перигейное расстояние

 q =R+h_q = 6370 + 200=6570 км

и апогейное расстояние

Q = R+h_Q = 6370 + 1550 = 7920 км.

Эксцентриситет орбиты, согласно (35),

а по формуле (79) период обращения

так как масса Земли M=1.

Формула (68) дает круговую скорость спутника

а формулы (65) и (66) —его скорость в перигее

и  в  апогее

Согласно формулам (81) и (82), спутник пролетает над перигейным полушарием Земли за промежуток времени

а в течение т = Т — t = 102 — 45 = 57м движется над апогейным полушарием.

Пример 2. Какую ареоцентрическую скорость и на каком максимальном расстоянии от поверхности Марса нужно сообщить космическому аппарату, чтобы он стал искусственным спутником планеты и обращался вокруг нее с периодом в 2^ч40^м по эллиптической орбите с эксцентриситетом 0,250? Масса Марса равна 0,107, а его радиус — 3400 км.

Данные: Марс, M = 0,107, R = 3400 км;

аппарат,  T = 2^ч40^м = 160^м, е=0,250.

Решение. Согласно формуле (80), у орбиты искусственного спутника большая полуось

и расстояние апоария

Q = a(l+e) =4650· 1,250=5810 км,

откуда, по (77), максимальное расстояние от поверхности планеты

h_Q = Q—R = 5810—3400 = 2410 км.

По (68), круговая скорость спутника

и тогда, согласно (66), искомая скорость в апоарии

Пример 3. Выяснить обстоятельства полета межпланетного корабля с Венеры к Юпитеру. Среднее гелиоцентрическое расстояние Юпитера — 5,203 а. е., а Венеры — 0,723 а. е. Критическая (вторая космическая) скорость на поверхности Венеры 10,36 км/с; среднее суточное движение Юпитера 0°,0831.

Данные: планета запуска, Венера, а₁ = 0,723, а.е., w_п = 10,36 км/с; планета сближения,, Юпитер, а₂ = 5,203 а. е., ω₂ = 0°,831 ~ 5' (в сутки).

Решение. Изображаем орбиты обеих планет и гелиоцентрическую орбиту межпланетного корабля (см. рис. 9). Поскольку корабль стартует с нижней планеты к верхней, то запуск происходит в перигелии, и, согласно формулам (83), (84), (75), (35) и (85), перигельное расстояние корабля q = a₁ = 0,723 а. е., афелийное расстояние

Q = a₂ = 5,203 а. е., большая, полуось орбиты

эксцентриситет орбиты

и продолжительность полета к Юпитеру

По формуле (41) гелиоцентрическая круговая скорость корабля

а по (65) —скорость в перигелии, она же начальная гелиоцентрическая скорость корабля,

Так как орбитальная скорость Венеры

то, согласно (86), дополнительная скорость

v_д = V_н—V₁ = 46,4—35,0 = 11,4 км/с,

откуда, по (87), скорость запуска корабля с Венеры

За промежуток времени Δt = 2,55 года = 2,55·365 сут Юпитер пройдет по своей орбите путь

L₂ = ω₂Δt =  0°,0831·2,55·365 = 77°,4,

и поэтому, по (88), в день старта корабля разность гелиоцентрической долготы Юпитера и Венеры

l₂—l₁  = 180°—L₂= 180°—77°,4 = 102°,6,

а конфигурация Δλ₂ Юпитера, видимая с Венеры, находится по формуле (91):

откуда Δλ₂ = 69°,9. Поскольку L₂ = 77°,4 < 180°, то найденная конфигурация представляет собой западную элонгацию. Этот же результат получается и по формулам (89) и  (90).

Задача 195. Определить скорость запуска и периоды обращения искусственных спутников Земли, движущихся вокруг нее по круговым орбитам на расстояниях половины и двух ее радиусов от поверхности.

Задача 196. Решить предыдущую задачу для искусственных спутников Марса и Юпитера. Массы и радиусы в сравнении с земными: Марса — 0,107 и 0,533, а Юпитера — 318 и  10,9.

Задача 197. Как изменятся периоды и скорость обращения спутников предыдущих задач, если масса центрального тела возрастет в n раз, а его радиус — в m раз и в частном случае при m = n?

Задача 198. На какой высоте над земной поверхностью и с какой скоростью движутся по круговым орбитам искусственные спутники с периодами обращения в 90м, 150м, и 3ч? Радиус Земли принять равным 6370 км.

Задача 199. Вычислить высоту над земной поверхностью и скорость  стационарного  искусственного  спутника,  т.  е. спутника, неподвижно висящего над одной и той же точкой земного экватора.

Задача 200. Решить предыдущую задачу для стационарных искусственных спутников планет, указанных в задаче 196. Период вращения Марса — 24ч37м,4, а Юпитера — 9ч50м,5.

Задача 201. Найти скорость и периоды обращения искусственных спутников при одинаковой высоте в 200 и 1000 км над поверхностью Земли, Луны, Марса и Юпитера. Массы этих небесных тел в той же последовательности равны 1, 0,0123, 0,107 и 318, а радиусы — 6370, 1738, 3400 и 71400 км.

Задача 202. На сколько градусов и в каком направлении должна смещаться трасса полета полярных искусственных спутников * за один оборот при их движении по круговым орбитам со скоростью 7 км/с и 2 км/с вокруг Земли, Меркурия и Венеры? Период вращения Меркурия — 58д,65, а Венеры — 243д,2 (вращение планеты обратное). Необходимые сведения см. в задаче 204.

* Трассой полета называется проекция орбиты спутника на поверхность небесного тела. Полярный спутник проходит над обоими   полюсами   планеты.

Задача 203. По каким орбитам будут двигаться искусственные небесные тела, запущенные с горизонтальной скоростью 9,5 км/с на высоте 200 км над поверхностью Земли, Марса и Юпитера? Необходимые сведения заимствовать из задачи 201.

Задача 204. На какой минимальной высоте и с какой скоростью должны быть выведены на эллиптические орбиты с эксцентриситетом 0,100 и 0,600 искусственные спутники, чтобы они обращались с периодами в 2ч и 8ч вокруг Меркурия и Венеры, массы которых, в сравнении с земной, соответственно 0,055 и 0,815, а радиусы — 2440 км и  6050 км?

Задача 205. Какую долю своего периода обращения пролетают над перицентрийным и апоцентрийным полушариями планет искусственные спутники при эксцентриситетах их орбит 0,100 и 0,400?

Задача 206. Сколько времени пролетали над перигейным и апогейным полушариями орбитальная станция «Салют-5» (выведена на орбиту 22 июня 1976 г.) и спутник связи «Молния-2» (выведен на орбиту 25 декабря 1973 г.), если «Салют-5» обращался в пределах высоты от 258 км до 283 км, а «Молния-2» —по орбите с большой полуосью 27 030 км и высотой апогея 40 860 км? 

Задача 207. Найти массу Луны (в массах Земли) по движению ее искусственных спутников, обращавшихся над лунной поверхностью в пределах высоты: «Луна-19» (28 ноября 1971 г.) от 77 км до 385 км, с периодом в 2ч11м; «Луна-20» (19 февраля 1972 г.) от 21 км до 100 км, с периодом в 1ч54м. В скобках указана дата выведения спутника на селеноцентрическую орбиту. Диаметр Луны — 3476 км.

Задача 208. По данным и результату предыдущей задачи рассчитать круговую и предельные селеноцентрические скорости спутников Луны.

Задача 209. Определить массу Марса по движению его естественного спутника Деймоса и советского искусственного спутника «Марс-5» (12 февраля 1974 г.). Деймос обращается вокруг планеты с периодом 1д,262 на среднем расстоянии 23 500 км, а «Марс-5» — с периодом 25ч,0, в пределах высоты над поверхностью планеты от 1760 км до 32 500 км. Радиус Марса — 3400 км.

Задача 210. Советская автоматическая межпланетная станция «Венера-10», ставшая 25 октября 1975 г. вторым искусственным спутником Венеры, обращалась в те дни вокруг планеты с периодом 49ч23м в пределах от 1400 км до 114 000 км над ее поверхностью. Определить массу Венеры, приняв ее радиус равным 6050 км.

Задача 211. Первый в истории человечества облет Земли был осуществлен Героем Советского Союза Ю. А, Гагариным на космическом корабле «Восток» 12 апреля 1961 г. в пределах высоты от 181 км до 327 км над земной поверхностью. Определить большую полуось и эксцентриситет орбиты корабля, период его обращения вокруг Земли, его среднюю и предельные скорости, а также продолжительность полета над перигейным и апогейным полушариями Земли.

Задача 212. Решить предыдущую задачу для спутника связи «Молния-2», выведенного 5 апреля 1973 г. на орбиту вокруг Земли в пределах высоты от 500 до 39 100 км.

Задача 213. Как изменились бы параметры полета спутника связи предыдущей задачи, если бы он в пределах той же высоты обращался вокруг Меркурия и Юпитера? Необходимые данные заимствовать из задач 201 и 204.

Задача 214. Спутник связи «Молния-3», выведенный 14 апреля 1975 г. на орбиту с высотой перигея 636 км над южным полушарием Земли, обращается вокруг планеты с периодом 12ч16м. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты спутника, его апогейную высоту, скорость в перигее и апогее и продолжительность полета над противоположными полушариями Земли.

Задача 215. Вычислить все основные параметры полета искусственного спутника Луны «Луна-22», выведенного на орбиту 9 июня 1974 г., если он обращался с периодом в 2ч02м и поднимался в апоселении на высоту в 244 км над лунной поверхностью. Сведения о Луне заимствовать из задачи 201.

Задача 216. Определить большую полуось и эксцентриситет простейшей эллиптической орбиты космического корабля, продолжительность его полета от Земли до Марса и скорость запуска с Земли, если среднее гелиоцентрическое расстояние Марса равно 1,524 а. е. Среднюю орбитальную скорость Земли принять 29,8 км/с.

Задача 217. По данным и результатам предыдущей задачи найти конфигурацию Марса, наиболее благоприятную для запуска к нему с Земли космического корабля. Период обращения Марса вокруг Солнца равен 687 сут.

Задача 218. Вычислить скорость запуска космического корабля с Марса для полета к Земле по простейшей орбите и благоприятствующую этому конфигурацию Земли. Среднее гелиоцентрическое расстояние Марса — 1,524 а. е., его масса —0,107 и радиус — 0,533 в сравнении с земными.

Задача 219. По данным и результатам задач 216, 217 и 218 найти наименьшую продолжительность путеществия с Земли на Марс и обратно (подходящие даты для старта кораблей установить по астрономическим календарям-ежегодникам).

Задача 220. Определить параметры, указанные в задачах 216, 217 и 218 для полета космического корабля с Земли к Венере и обратно к Земле. Среднее гелиоцентрическое расстояние Венеры равно 0,723 а. е., ее масса — 0,815 и радиус — 0,950 в сравнении с земными.

Задача 221. Через какие промежутки времени целесообразно запускать с Земли к планетам космические станции?