Ответы - Практическое определение географических и небесных экваториальных координат

Преобразование небесных координат и систем счета времени. Восход и заход светил

Связь между горизонтальными и экваториальными небесными координатами осуществляется через параллактический треугольник PZM (рис. 3), вершинами которого служат полюс мира Р, зенит Ζ и светило M, а сторонами — дуга ΡΖ небесного меридиана, дуга ΖΜ круга высоты светила и дуга РМ его круга склонения. Оче видно, что ΡΖ=90°—φ, ZM = z = 90°—h и PM=90°—δ, где φ — географическая широта места наблюдения, z — зенитное расстояние, h — высота и δ — склонение светила.

В параллактическом треугольнике угол при зените равен 180°—A, где A — азимут светила, а угол при полюсе мира — часовому углу t того же светила. Тогда горизонтальные координаты вычисляются по формулам

c os z = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos t,                               (28)

sin z · cos A = - sin δ · cos φ+cos δ · sin φ · cos t,                  (29)

sin z · sin A = cos δ · sin t,                                                         (30)

а экваториальные координаты — по формулам

sin δ = cos z · sin φ — sin z · cos φ · cos A,                          (31)

cos δ · cos t = cos z · cos φ+sin z · sin φ · cos A,                    (32)

cos δ · sin t=sin z · sin A,                                                           (30)

причем t = S — α, где α — прямое восхождение светила и S — звездное время.

Рис. 3. Параллактический треугольник

При расчетах необходимо по таблице 3  переводить интервалы звездного времени ΔS в интервалы среднего времени ΔT (или наоборот), а звездное время s0 — в среднюю гринвичскую полночь заданной даты заимствовать из астрономических календарей-ежегодников (в задачах этого раздела значения s0 приводятся).

Пусть некоторое явление в каком-то пункте земной поверхности произошло в момент Τ по принятому там времени. В зависимости от принятой системы счета времени по формулам (19), (20) или (21) находится среднее гринвичское время T0, представляющее собой интервал среднего времени ΔT, протекший с гринвичской полночи (ΔT=T0). Этот интервал по таблице 3 переводится в интервал звездного времени ΔS (т. е. ΔT→ΔS), и тогда в заданный момент T соответствующий среднему гринвичскому времени T0, звездное время в Гринвиче

S0=s0+ΔS,            (33)

а в данном пункте

S = S0+λ,               (14)

где λ — географическая долгота места,

Перевод интервалов звездного времени ΔS в интервалы среднего времени ΔΤ = Τ0 (т. е. ΔS→ΔT) осуществляется по таблице 3 вычитанием поправки.

Моменты времени и азимуты точек восхода и захода светил вычисляются по формулам (28), (29), (30) и (13), в которых принимается z=90°35' (с учетом рефракции ρ = 35').

Найденные значения часового угла и азимута в пределах от 180 до 360° соответствуют восходу светила, а в пределах от 0 до 180° — его заходу.

При вычислениях восхода и захода Солнца учитывается еще его угловой радиус r=16'. Найденные часовые углы t дают моменты по истинному солнечному времени (см. формулу (17), которые но формуле (16) переводятся в моменты среднего времени, а затем — в принятую систему счета.

Моменты восхода и захода всех светил вычисляются с точностью, не превышающей 1м.

Преобразование небесных координат и систем счета времени – Пример 1

В каком направлении был заранее установлен телескоп с фотокамерой для фотографирования солнечного затмения 29 апреля 1976 г., если в пункте с географическими координатами λ=2ч58м,0 и φ = +40°14' середина затмения наступила в 15ч29м,8 по времени, отличающемуся от московского на +1ч? В этот момент экваториальные координаты Солнца: прямое восхождение α=2ч27м,5 и склонение δ= + 14°35'. В среднюю гринвичскую полночь 29 апреля 1976 г. звездное время s0=14ч28м19c.

Данные: пункт наблюдения, λ = 2ч58м,0, φ = +40°14', T=15ч29м,8, Τ—Tм=1ч; s0 = 14ч28м19c = 14ч28м,3; Солнце, α=2ч27м,5, δ = +14°35'.

Решение. В середине затмения московское время Тм = Т—1ч=14ч29м,8, и поэтому среднее гринвичское время T0 = Tм—3ч = 11ч29м,8. С гринвичской полночи прошел интервал времени ΔТ = Т0 = 11ч29м,8, который переводим по таблице 3 в интервал звездного времени ΔS=11ч31м,7, и тогда в момент T0, по формуле (33), звездное время в Гринвиче

S0=s0+ΔS = 14ч28м,3 + 11ч31м,7 = 25ч60м = = 2ч0м,0

а в заданном пункте, по формуле (14), звездное время S = S0+λ=2ч0м,0 + 2ч58м,0 = 4ч58м,0

и, по формуле (13), часовой угол Солнца

t = S—α = 4ч58м, 0—2ч27м, 5 = 2ч30м, 5,

или, переводя по таблице 1, t = 37°37',5 ~ 37°38'. По таблицам тригонометрических функций находим:

sin φ = sin 40°14' = +0,6459,

cos φ = cos 40°14' = +0,7634;

sin δ = sin 14°35' = +0,2518,

cos δ = cos 14°35' = +0,9678;

sin t = sin 37°38' = +0,6106,

cos t = cos 37°38' = +0,7919.

По формуле (28) вычисляем

cos z = 0,6459 · 0,2518 + 0,7634 · 0,9678 · 0,7919 = =  +0,7477

и по таблицам находим z = 41°36' и sin z = +0,6640. Для вычисления азимута используем формулу  (30):

откуда получаем два значения: A = 62°52' и A = 180° — 62°52' = 117°08'. При δ<φ значения A и t не слишком резко отличаются друг от друга и поэтому A=62°52'.

Следовательно, телескоп был направлен в точку неба с горизонтальными координатами A=62°52' и z = 41°36' (или h = + 48°24').

Преобразование небесных координат и систем счета времени - Пример 2

Вычислить азимуты точек и моменты восхода и захода Солнца, а также продолжительность дня и ночи 21 июня 1975 г. в местности с географическими координатами λ=4ч28м,4 и φ = +59°30', находящейся в пятом часовом поясе, если в полдень этого дня склонение Солнца  δ = +23°27', а уравнение времени η = + 1м35с.

Данные: Солнце, δ = +23°27'; η = +1м35с = +1м,6; место, λ=4ч28м,4, φ = 59°30', n = 5.

Решение. Учитывая среднюю рефракцию в горизонте ρ = 35' и угловой радиус солнечного диска   r =16', находим, что в момент восхода и захода Солнца центр солнечного диска находится под горизонтом, на зенитном расстоянии

z = 90° + ρ + r = 90°51',

Тогда

sin z = +0,9999, cos z = -0,0148, sin δ = + 0,3979,

cos δ = +0,9174, sin φ = +0,8616, cos φ = +0,5075.

По формуле (28) находим:

и по таблицам

t = ± (180°—39°49',3) = ±140°10',7 и

sin t = ±0,6404.

По таблице 2 получим, что при восходе Солнца его часовой угол t1 = -140°10',7 = -9ч20м,7, а при заходе t2 = +140°10',7 = +9ч20м,7, т. е. по истинному солнечному времени, согласно формуле (17), Солнце восходит в

T 1 = 12ч + t1 = 12ч—9ч20м,7 = 2ч39м,3

и заходит в

T 2 =12ч + t2 = 12ч+9ч20м,7 = 21ч20м,7,

что, по формуле (16), соответствует моментам по сред нему времени

Tλ1 = T 1 + η = 2ч39м,3 + 1м,6=2ч41м и

Τλ2   = T 2 + η = 21ч20м,7+1м,6 = 21ч22м.

По формулам (19), (20) и (21) те же моменты по поясному времени: восход

Tn1 = Tλ1— λ+n = 2ч41м — 4ч28м + 5ч = 3ч13м

и заход Tn2 = Tλ2 — λ+n = 21ч22м — 4ч28м + 5ч = 21ч54м,

а  по декретному  времени:

восход Tд1=4ч13м и заход Tд2 = 22ч54м.

Продолжительность дня τ = Тд2—Тд1 = 22ч54м—4ч13м = 18ч41м.

В момент нижней кульминации высота Солнца

hн = δ— (90°—φ) = +23°27' - (90°—59°30') = -7°03', т. е. вместо обычной длится белая ночь.

Азимуты точек восхода и захода Солнца вычисляются по формуле (30):

что дает A = ±(180°—36°,0) = ±144°,0, так как азимуты и часовые углы Солнца находятся в одном квадранте. Следовательно, Солнце восходит в точке истинного горизонта с азимутом A1 = -144°,0 = 216°,0 и заходит в точке с азимутом A2 = +144°,0, расположенных в 36° по обе стороны от точки севера.

Задача 90. Через какие интервалы среднего времени чередуются одноименные и разноименные кульминации звезд?

Задача 91. Через сколько времени после верхней кульминации Денеба наступит верхняя кульминация звезды γ Ориона, а затем — снова верхняя кульминация Денеба? Прямое восхождение Денеба 20ч39м44с, а γ Ориона 5ч22м27с. Искомые интервалы выразить в системах звездного и среднего времени.

Задача 92. В 14ч15м10с по среднему времени звезда Сириус (α Большого Пса) с прямым восхождением 6ч42м57с находилась в нижней кульминации. В какие ближайшие моменты времени после этого звезда Гемма (α Северной Короны) будет находиться в верхней кульминации и когда ее часовой угол будет равен 3ч16м0с? Прямое восхождение Геммы 15ч32м34с.

Задача 93. В 4ч25м0с часовой угол звезды с прямым восхождением 2ч12м30с был равен —34°26',0. Найти прямое восхождение звезд, которые в 21ч50м0с будут находиться в верхней кульминации и в нижней кульминации, а также тех звезд, часовые углы которых станут равными — 1ч13м20с и 5ч42м50с.

Задача 94. Чему равно приближенное значение звездного времени в среднюю, поясную и декретную полночь Ижевска (λ = 3ч33м, n = 3) 8 февраля и 1 сентября?

Задача 95. Примерно в какие дни года звезды Сириус (α = 6ч43м) и Антарес (α = 16ч26м) находятся в верхней и нижней кульминации в среднюю полночь?

Задача 96. Определить звездное время в Гринвиче в 7ч28м16с 9 января (s0 = 7ч11м39c)* и в 20ч53м47с 25 июля (s0 =  20ч08м20с).

* Здесь и далее в скобках после дат указано звездное время в среднюю гринвичскую полночь.

Задача 97. Найти звездное время в средний, поясной и декретный полдень, а также в среднюю, поясную и декретную полночь в Москве (λ = 2ч30м17с, n=2) 15 января (s0=7ч35м18c).*

* Здесь и далее в скобках после дат указано звездное время в среднюю гринвичскую полночь.

Задача 98. Решить предыдущую задачу для Красноярска (λ = 6ч11м26с, n = 6) и Охотска (λ = 9ч33м10с, n=10) в день 8 августа (s0=21ч03м32c).

Задача 99. Вычислить часовые углы звезды Деиеба (α Лебедя) (α = 20ч39м44с) в Гринвиче в 19ч42м10с 16 июня (S0=17ч34м34с) и 16 декабря (S0=5ч36м04c).

Задача 100. Вычислить часовые углы звезд α Андромеды (α = 0ч05м48с) и β Льва (α= 11ч46м31с) в 20ч32м50с 3 августа (s0=20ч43M40c) и 5 декабря (s0=4ч52M42c) во Владивостоке (λ=8ч47м31с, n = 9).

Задача 101. Найти часовые углы звезд Бетельгейзе (α = 5ч52м28с) и Спики (α =13ч22м33с) в 1ч52м36с 25 июня (s0=18ч06м07c) и 7 ноября (s0=2ч58м22c) в Ташкенте (λ=4ч37м11с, n=5).

Задача 102. В какие моменты времени в Гринвиче находятся в верхней кульминации звезда Поллукс (α = 7ч42м16с), а в нижней кульминации звезда Арктур (α =14ч13м23с) 10 февраля (s0=9ч17м48c) и 9 мая  (s0=15ч04м45c)?

Задача 103. Найти моменты верхней и нижней кульминации 22 марта (s0 = 11ч55м31c) и 22 июня (s0 = 17ч58м14c) звезд Капеллы (α = 5ч13м00с) и Беги (α = 18ч35м15с) на географическом меридиане λ = 3ч10м0с (n = 3). Моменты указать по звездному, среднему, поясному и декретному времени.

Задача 104. В какие моменты времени 5 февраля (s0 = 8ч58м06с) и 15 августа (s0 = 21ч31м08c) часовые углы звезд Сириуса (α = 6ч42м57с) и Альтаира (α = 19ч48м21с) в Самарканде (λ = 4ч27м53с, n = 4) равны 3ч28м47с?

Задача 105. В какие моменты времени 10 декабря (s0 =5ч12м24с) часовые углы звезд Альдебарана (α = 4ч33м03с)    и    β   Лебедя    (α = 19ч28м42с)    в   Тбилиси (λ = 2ч59м11с, n = 3) и в Охотске (λ = 9ч33м10с, n=10) соответственно равны +67°48' и —24°32'?

Задача 106. На каких географических меридианах звезды α Близнецов и γ Большой Медведицы находятся в верхней кульминации 20 сентября (s0=23ч53м04c) в 8ч40м26с по времени Иркутска (n=7)? Прямое восхождение этих звезд соответственно равно 7ч31м25с и 11ч51м13с.

Задача 107. Определить горизонтальные координаты звезд ε Большой Медведицы (а = 12ч51м50с, δ = +56°14') и Антареса (α = 16ч26м20с, δ = -26°19') в 14ч10м0с по звездному времени в Евпатории  (φ = +45°12').

Задача 108. Чему равны горизонтальные координаты звезд Геммы (α = 15ч32м34с, δ = +26°53') и Спики (α = 13ч22м33с, δ = —10°54') 15 апреля (s0 = 13ч30м08c) и 20 августа (s0 = 21ч50м50c) в 21ч30м по декретному времени в пункте с географическими координатами λ = 6ч50м0с (n = 7) и φ = +71°58'?

Задача 109. В какие точки неба, определяемые горизонтальными координатами, необходимо направить телескоп, установленный в пункте с географическими координатами λ = 2ч59м,2 (n = 3) и φ = +41°42', чтобы 4 мая 1975 г. (s0=14ч45м02с)  в 22ч40м по поясному времени увидеть

Уран (α = 13ч52м,1, δ = —10°55') и Нептун   (α = 16ч39м,3, δ = -20с32')?

Задача 110. В какие моменты времени восходит, кульминирует и заходит и сколько времени находится над горизонтом точка летнего солнцестояния 22 марта (s0 = 11ч55м31с) и 22 июня (s0=17ч58м14c) на центральном меридиане второго часового пояса в местах с географической широтой φ = +37°45' и φ = +68°20'? Моменты выразить по звездному и декретному времени.

Задача 111. Вычислить азимуты и моменты восхода, верхней кульминации, захода и нижней кульминации звезд Кастора (α = 7ч31м25с, δ = +32°00') и Антареса (α = 16ч26м20с, δ = —26°19') 15 апреля (s0=13ч30м08c) и 15 октября (s0=1ч31м37c) в местах земной поверхности с географическими координатами λ =3ч53м33с (n = 4), φ = +37°45' и λ = 2ч12м15с (n = 2), φ = +68°59'.

Задача 112. Вычислить азимуты и моменты восхода, верхней кульминации и захода Солнца, его полуденную и полуночную высоту, а также продолжительность дня в даты весеннего равноденствия и обоих солнцестояний в пунктах с географическими координатами λ = 2ч36м,3 (n=2), φ = +59°57', и λ = 5ч53м,9 (n = 6), φ = +69°18'. В последовательные даты уравнение времени соответственно равно +7м23с, +1м35с и —2м08с.

Задача 113. В какие моменты времени 30 июля (s0 = 20ч28м03с) в пункте с λ = 2ч58м0с (n=3) и φ = +40°14' нижеперечисленные звезды имеют горизонтальные координаты A и z:

Звезда	α	δ	А	z
Сириус (α Большого Пса) Регул (α Льва) Капелла   (α Возничего)	6ч42м57с 10ч05м43с 5ч13м0с	—16°39' + 12°13 + 45°58	— 40°10' + 65°05 + 152°55	67°08' 46°28 86°25

Задача 114. В пункте с географическими координатами λ= 4ч37м11c (n = 5) и φ = + 41°18'  5 августа 1975 г. (s0= 20ч51м42с) были измерены горизонтальные координаты двух звезд: в 21ч10м у первой звезды A = —8°33' и z =49°51', а в 22ч50м у второй звезды A = 46°07' и z = 38°24'. Вычислить экваториальные координаты этих звезд.