4. Точечные оценки параметров распределения

Определение 1. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых значений количественного признака .

Определение 2. Точечной оценкой называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где ─ результаты наблюдений над количественным признаком (выборка).

Определение 3. Несмещенной называют точечную оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, то есть . Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Рассмотрим основные точечные оценки параметров распределения.

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объема .

Определение 4. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объема различны, то выборочная средняя находится по формуле:

.

Если же все значения признака имеют соответственно частоты , причем объем выборки , то

.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней (неизвестного математического ожидания).

Замечание. Если первоначальные варианты ─ большие числа, то для упрощения решения целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же

число , то есть перейти к условным вариантам . Тогда

.

Выборочная дисперсия.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия. Эту величину вводят для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения .

Определение 5. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения признака выборки объема различны, то выборочная дисперсия находится по формуле:

Если значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

Эта оценка является смещенной, так как , где – генеральная дисперсия.

Теорема. Выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат выборочной средней.

.

Для вычисления выборочной дисперсии эта формула наиболее удобна.

Замечание. Если перейти к условным вариантам , то дисперсия при этом не изменится. Тогда

Исправленная выборочная дисперсия.

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема :

Значения признака				…
Частоты				…

При этом .

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение . Объясняется это тем, что математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой , а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь . Сделав это, мы получим исправленную выборочную дисперсию, которую обычно обозначают , которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии:

.

Если все значения признака выборки объема различны, то исправленная выборочная дисперсия находится по формуле:

.

Если же все значения признака имеют соответственно частоты , причем объем выборки , то

.

Более удобна форма:

.

В условных вариантах она имеет вид:

.

Пример 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом .

	1	3	6	26
	8	40	10	2

Требуется найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:

,

где ─ варианта выборки, ─ частота варианты ; объем выборки.

.

Ответ: .

Пример 2.