Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала

(если ) или (если ).

Значение находят по таблице приложения 4 по заданным и : . Так как , то воспользуемся первым соотношением. Подставим и . Получим

,

отсюда

.

Таким образом, полученный доверительный интервал покрывает неизвестное среднее квадратическое отклонение с надежностью (доверительной вероятностью) .

Часто используют также следующие выборочные характеристики.

– ошибка средней (среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней);

– коэффициент вариации (доля среднего квадратического отклонения в выборочной средней, в процентах).

6. Решение типовых задач по математической статистике

Задача 1. В течение 300 дней фиксировалась цена акции ООО «Психолог». Затем была проведена случайная выборка объёмом n=20, и получены следующие результаты: 35,9; 35,3; 42,7; 45,3; 25,6; 35,3; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7; 38,6; 40,8; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.

Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: , , s, , ; с надежностью указать доверительный интервал для оценки генеральной средней_.

Решение. Запишем исходные данные в виде ранжированного ряда, то есть, располагая их в порядке возрастания: 25,6; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7: 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,8; 42,7; 44,1; 45,3.

Максимальное значение признака составляет 45,3 ц, а минимальное –

25,6 ц. Разница между ними составляет 19,7 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество частей. При малом объеме выборки (20–40 вариант) намечают 4–7 интервалов. Возьмем длину интервала . Получаем пять интервалов: первый 25 – 30, второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал 25 – 30 попадают два значения: 25,6 и 27,0; поэтому . Во второй интервал попадают пять значений, поэтому . Аналогично, , , .

Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

; ; ;

; .

Для проверки вычисляем сумму относительных частот:

.

Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений.

Вычислим плотности относительных частот вариант. Получаем

;

;

;

;

.

Полученные результаты сведем в таблицу 4.

Таблица 4.

Интервал значений	25–30	30–35	35–40	40–45	45–50
Частоты вариант	2	5	9	3	1
Относительные частоты	0,10	0,25	0,45	0,15	0,05
Плотность относительных частот	0,02	0,05	0,09	0,03	0,01

Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотности относительных частот.

Рис.8. Гистограмма относительных частот.

Так как объем выборки небольшой ( ) и почти все наблюдаемые значения различны, то для вычисления выборочных характеристик составим вспомогательную таблицу (таблица 5).

Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: – выборочная средняя; – «исправленная» дисперсия; – «исправленное» среднее квадратическое отклонение; – ошибка средней; – коэффициент вариации.

Таблица 5.

№	Результат обследования
1	35,9	– 0,1	0,01
2	35,3	– 0,7	0,49
3	42,7	6,7	44,89
4	45,3	9,3	86,49
5	25,6	–10,4	108,16
6	35,3	– 0,7	0,49
7	33,4	– 2,6	6,76
8	27,0	– 9,0	81,00
9	35,9	– 0,1	0,01
10	38,8	2,8	7,84
11	33,7	– 2,3	5,29
12	38,6	2,6	6,76
13	40,8	4,8	23,04
14	35,5	– 0,5	0,25
15	44,1	8,1	65,61
16	37,4	1,4	1,96
17	34,2	– 1,8	3,24
18	30,8	– 5,2	27,04
19	38,4	2,4	5,76
20	31,3	– 4,7	22,09
Σ	720,0	0	497,20

Подставляя полученные значения в формулы, получаем

;

;

;

;

.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:

.

Вычисляем теперь точность оценки :

;

где значение находим по таблице приложения 3.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что средняя цена акции за 300 дней заключена в пределах от ц. (гарантированный минимум) до ц. (возможный максимум).

Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в агрофирме на площади га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:

Урожайность, ц/га	23–25	25–27	27–29	29–31	31–33	33–35	35–37
Площадь, га	3	10	6	16	15	30	20

Требуется найти:

1) величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве;

2) величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве;

3) доверительный интервал, в котором с вероятностью заключена средняя урожайность на всем массиве.

Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значения признака нужно принять середины интервалов. Получим:

= (24∙3+26∙10+28∙6+30 ∙16+32 ∙15+34∙30+36∙ 20)/100 =

= 3200/100 = 32.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности вычисляем исправленное среднее квадратическое отклонение:

Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве

= = 3,4.

Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле

ц.

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3,4 ц.

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся двойным неравенством:

.

Так как , то значение найдем из условия . По таблице приложения 2 находим значение и , следовательно, получаем:

.

Концы доверительного интервала:

и .

Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.