Выборочная совокупность задана таблицей распределения

	1	2	3	4
	20	15	10	5

Требуется найти выборочную дисперсию.

Решение. Найдем выборочную среднюю

.

Найдем выборочную дисперсию:

,

Ответ: .

5. Интервальные оценки параметров распределения

Определение 1. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью (надежностью) покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где – точность оценки,

– объем выборки,

– значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2), при котором .

При неизвестном (и объеме выборки ) доверительным будет интервал

,

где – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 3 по заданным и .

Интервальной оценкой с надежностью среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:

при ,

при ,

где находят по таблице приложения 4 по заданным и .

Интервальной оценкой с надежностью неизвестной вероятности биномиального распределения по относительной частоте служит доверительный интервал (с приближенными концами и ):

,

где

,

.

где – общее число испытаний,

– относительная частота, равная отношению ( – число появлений

события);

– значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором ( – заданная надежность).

Замечание. При больших значениях (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

, .

Пример 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Варианта	2	3	5	7	10	13
Частота	2	4	7	8	3	1

Требуется оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам

, .

Подставим в эти формулы данные задачи:

,

Таким образом, получим , .

Найдем искомый доверительный интервал:

.

Значение находят по таблице приложения 3 по заданным и : .

Подставляя ; ; получим

.

Получили доверительный интервал , покрывающий неизвестное математическое ожидание с надежностью .

Пример 2. По данным выборки объема из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,99.