Тема 1. Класифікація диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку та зведення їх до канонічної форми

1. Класифікація диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку

Велика кількість різних фізичних задач приводить до диференціальних рівнянь із частинними похідними, які являють собою співвідношення між невідомою функцією , її частинними похідними та незалежними змінними. Найчастіше в математичній фізиці зустрічаються диференціальні рівняння другого порядку. Для двох незалежних змінних таке диференціальне рівняння записують у загальній формі співвідношенням

. (1.1.1)

Якщо диференціальне рівняння лінійне відносно старших похідних, то його називають квазілінійним рівнянням та записують у вигляді

, (1.1.2)

де — деякі функції незалежних змінних.

Диференціальне рівняння називають лінійним, якщо воно лінійне як відносно шуканої функції, так і відносно її частинних похідних. Таке рівняння записують у вигляді

(1.1.3)

Якщо коефіцієнти рівняння (1.1.3) не залежать від змінних , то воно являє собою лінійне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Рівнянням (1.1.2) та (1.1.3) можна поставити у відповідність квадратичну форму

та за аналогією до з кривих другого порядку дати класифікацію типів рівнянь за знаком дискримінанта.

Виділимо три типи рівнянь у формі (1.1.2) або (1.1.3), називаючи їх рівняннями гіперболічного типу, якщо в деякій точці (або області ) , параболічного типу, — якщо в деякій точці , і еліптичного типу, - якщо у точці . Тут — дискримінант рівняння.

В рівнянні (1.1.2) можна зробити заміну незалежних змінних

(1.1.4)

з якобіаном перетворення

,

який допускає звернене перетворення. Тоді в нових змінних рівняння (1.1.2) набуває вигляду

. (1.1.5)

Тут

Перетворення (1.1.4) не змінює тип рівняння, тому що . Однак функції та можна вибрати таким чином, щоб у нових змінних частина коефіцієнтів обернулася в нуль, а саме рівняння (1.1.5) набуло простішого вигляду, який називають канонічною формою рівняння.

Перехід до канонічної форми можна здійснити за допомогою загальних інтегралів диференціального рівняння

, (1.1.6)

яке називають характеристичним для рівняння (1.1.2) та (1.1.3), а його інтеграли – характеристичними кривими, або характеристиками.

Якщо — загальний інтеграл рівняння (1.1.6), то функція є розв’язком диференціального рівняння першого порядку

. (1.1.7)

Якщо в деякій області рівняння (1.1.2) є рівнянням гіперболічного типу ( ), тоді згідно перетворення змінних

де — рівняння характеристик,

приходимо до рівняння (1.1.5), в якому згідно з (1.1.7) . Отриманий вираз ділимо на , приводимо рівняння (1.1.5) до канонічної форми для рівняння гіперболічного типу:

. (1.1.8)

Якщо в деякій області рівняння (1.1.2) є рівнянням параболічного типу ( ), то в цій області характеристичне рівняння (1.1.6) має лише одне сімейство характеристик: . Покладемо та , де — довільна, лінійно незалежна з функція, приходимо до перетвореного рівняння (1.1.5), в якому згідно (1.1.7) та умови параболічності . Таким чином, отримуємо наступну канонічну форму для рівняння параболічного типу

. (1.1.9)

Якщо в деякій області рівняння (1.1.2) є рівнянням еліптичного типу ( ), то в цій області характеристичне рівняння (1.1.6) має два комплексно-спряжених інтеграла , де . Поклавши , приходимо до перетвореного рівняння (1.1.5), в якому коефіцієнти . Тому після перетворення рівняння (1.1.5) можна записати в канонічному вигляді для еліптичного рівняння:

. (1.110)

Лінійне рівняння зі сталими коефіцієнтами (1.1.3) мають однаковий тип у будь - якій області . Згідно з наведеними перетвореннями, рівняння (1.1.3) гіперболічного, параболічного та еліптичного типів мають відповідно такі канонічні форми:

;

;

.

Якщо тепер ввести нову невідому функцію за правилом

,

де — деякі сталі,

то за допомогою підбору цих сталих канонічні форми для рівнянь зі сталими коефіцієнтами можна привести до спрощеного вигляду

;

;

для рівнянь гіперболічного, параболічного та еліптичного типів відповідно.

G 1.2 Приклад розв’язку індивідуального завдання 1

Визначити тип диференціального рівняння, привести до канонічної форми та здійснити подальше спрощення

а) ;

б) ;

в) .

Розв’язок.

а) ; ;

рівняння гіперболічного типу.

Характеристичне рівняння: . Інтегруємо, знаходимо загальні інтеграли: Робимо заміну змінних Тоді

; ;

;

;

.

Підставивши отримані вирази для похідних, згідно з наведеною підстановкою, у вихідне рівняння, отримуємо таку канонічну форму рівняння гіперболічного типу:

.

Для подальшого спрощення останнього виразу зробимо підстановку:

,

де — поки що невідомі сталі. Після диференціювання отримуємо:

.

Підставивши останні вирази до канонічної форми, отримуємо

Якщо покласти , отримаємо спрощену канонічну форму рівняння

.

б) ; ; рівняння параболічного типу.

Характеристичне рівняння:

.

(Тут — довільна, лінійно незалежна з функція). Тоді

; ;

;

;

.

Підставивши в рівняння, остаточно отримуємо

.

в) ; ; . Рівняння еліптичного типу.

Характеристичне рівняння:

.

Тоді

; ;

;

;

.

Підставивши отримані вирази для похідних у вихідне рівняння, отримуємо таку канонічну форму

.

Для подальшого спрощення зробимо підстановку:

.

Тоді

, .

Підставивши в канонічну форму, отримуємо

.

Покладемо , отримаємо спрощену канонічну форму рівняння

.